B́nh phương của một hiệu

áp dụng:

a) (2x-3y)²= (2x)²-2.2x.3y + (3y)² = 4x²-12xy+9y²

b) 99²=(100-1)² = 100² -2.100.1 + 1² = 9801

(a+b)(a-b)=....

Từ đó rút ra kết luận cho (A+B)(A-B)=...

GV cho hs phát biểu bằng lời công thức và ghi bảng.- Hs làm trên phiếu học tập

-Rút ra quy tắc3. Hiệu hai b́nh phương:

Bài tập áp dung:

a) (x+2)(x-2)=x²-2²=x²-4

b) (2x+y)(2x-y)=4x²-y²

c) (3-5x)(5x+3)=(3-5x)(3+5x) = 9-25x²

Hoạt động 6: Vận dụng quy tắc, rèn luyện kỹ năngGV: áp dụng:

a) (x+2)(x-2)=?

Tính miệng

b) (2x+y)(2x-y)=?

c) (3-5x)(5x+3)=?

làm trên phiếu học tập bài b và c.a) (x+2)(x-2)=x²-2²=x²-4

Hs làm bài tập trên phiếu học tập bài b và c.

Hoạt động 7: Củng cố

- Bài tập ?7 SGK

- Bài tập ở nhà: 16, 27, 18, 19 SGK- Trả lời miệng:......

- Kết luận: (x-y)²=(y-x)²

1. 
   Mục tiêu
   

1. 
   Củng cố kiến thức về hằng đẳng thức: b́nh phương của 1 tổng, b́nh phương của 1 hiệu, hiệu 2 b́nh phương.
   
2. 
   HS vận dụng thành thạo hằng đẳng thức trên vào giải toán .
   

1. 
   Chuẩn bị của H\GV và HS
   

1. 
   GV: * Đèn chiếu , giấy trong hoặc bảng phụ ghi 1 số bài tập.
   

* Phấn màu, bút dạ.

1. 
   HS: Bảng phụ nhóm, bút dạ.
   

1. 
   Tiến tŕnh dạy – Học
   

HS1: Viết và phát biểu thành lời 2 hằng đẳng thức (A+B)² và (A-B)²

Chữa bài tập 11 tr4 SBT

HS2: Viết và phát biểu thành lời hằng đẳng thức hiệu 2 b́nh phương.

Chữa bài tập 18 tr11 SGK

(Cho thêm câu c)

c) (2x-3y)(...+...)=4x²-9y²Hai HS lên bảng kiểm tra.

HS1: Viết

(A+B)²=A²+2AB+B²

(A-B)²=A²-2AB+B²

và phát biểu thành lời các hằng đẳng thức đó.

- Chữa bài tập 11 SBT

(x+2y)²=x²+2.x.2y+(2y)²=x²+4xy+4y²

(x-3y)(x+3y)=x²-(3y)²=x²-9y²

(5-x)²=5²-2.5.x+x²=25-10x+x²

HS2: Viết

A²-B²=(A+B)(A-B)

và phát biểu thành lời

- Chữa bài tập 18SGK

a) x²+6xy+9y²=(x+3y)²

b) x²-10xy+25y²=(x-5y)²

(2x-3y)(2x+3y)=4x²-9y²Hoạt động 2

Nhận xét sự đúng, sai của kết luận sau:

(x²+2xy+4y²)=(x+2y)²

Bài 21 tr12 SGK

Viết các đa thức sau dưới dạng b́nh phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu:

a) 9x²-6x+1

GV cần phát hiện b́nh phương biểu thức thứ nhất, b́nh phương biểu thức thứ 2 rồi lập tiếp 2 lần tích biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ 2.

b) (2x+3y)²+2.(2x+3y)+1

Yêu cầu HS nêu đề bài tương tự

Bài 17 tr11 SGK

(Đề bài đưa lên màn h́nh)

hăy chứng minh:

(10a+5)²=100a(a+1)+25

GV: (10a+5)² với aN chính là b́nh phương của 1 số có tận cùng là 5, với a là số chục của nó.

Ví dụ: 25²=(2.10+5)²

Vậy qua kết quả biến đổi hăy nêu cách tính nhẩm b́nh phương của 1 số tự nhiên có tận cùng bằng 5.

(Nếu HS không nêu được th́ GV hướng dẫn).

áp dụng tính 25² ta làm như sau:

+ Lấy a (là 2) nhân a+1 (là 3) được 6.

+ Viết 25 vào số 6, ta được kết quả là 625

Sau đó yêu cầu HS làm tiếp.

Bài 22 tr12 SGK. Tính nhanh

a) 101²

b) 199²

c) 47.53

Bài 23 tr 12 SGK

(Đề bài đưa lên màn h́nh hoặc bảng phụ)

GV hỏi: Để chứng minh 1 đẳng thức ta làm thế nào?

GV gọi 2 HS lên bảng làm, các HS khác làm vào vở.

GV cho biết: Các công thức này nói về mối liên hệ giữa b́nh phương của 1 tổng và b́nh phương của 1 hiệu, cần ghi nhớ để áp dụng trong các bài tập sau: Ví dụ.

áp dụng:

a) Tính (a-b)² biết a+b=7 và a.b=12

Có (a-b)²=(a+b)²-4ab=7²-4.12=49-48=1

Sau đó GV yêu cầu HS làm phần b.

Bài 25 tr12 SGK Tính:

a) (a+b+c)²

GV: Làm thế nào để tính được b́nh phương 1 tổng 3 số?

GV hướng dẫn thêm cách khác.

(a+b+c)²=[(a+b)+c]²=(a+b)²+2(a+b)c+c²

=a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²

=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

HS trả lời

Kết quả trên sai v́ 2 vế không bằng nhau.

Vế phải (a+2y)²=2²+4xy+4y²

Khác với vế trái.

HS làm bài vào vở, 1 HS lên bảng làm.

9x²-6x+1=(3x)²-2.3x.1+1²=(3x-1)²

b) [(2x+3y)+1]²=(2x+3y+1)²

HS có thể nêu:

x²-2x+1=(x-1)²

4x²+4x+1=(2x+1)²

(x+y)²-2(x+y)+1=(x+y-1)²

Một HS chứng minh miệng:

(10a+5)²=(10a)²+2.10a.5+5²

=100a²+100a+25=100a(a+1)+25

HS: Muốn tính nhẩm b́nh phương của 1 số tự nhiên có tận cùng bằng 5 ta lấy số chục nhân với số liền sau nó rồi viết tếp 25 vào cuối.

HS tính: 35²=1225

65²=4225

75²=5625

HS hoạt động theo nhóm.

a) 101²=(100+1)²=100²+2.100.1+1

=10000+200+1=10201

b) 199²=(200-1)²=200²-2.200+1

=40000-400+1

=39601

c)47.53=(50-3)(50+3)=50²-3²

HS: Để chứng minh 1 đẳng thức ta biến đổi 1 vế bằng vế c̣n lại.

HS làm bài:

a) Chứng minh (a+b)²=(a-b)²+4ab

BĐVP: (a-b)²+4ab=a²-2ab+b²=4ab

=a²+2ab+b²=(a+b)²=VT

b) Chứng minh: (a-b)²=(a+b)²-4ab

BĐVP: (a+b)²-4ab=a²+2ab+b²-4ab

=a²-2ab+b²=(a-b)²=VT

HS làm

Có (a+b)²=(a-b)²+4ab=20²+4,3=400+12

=412

HS có thể nêu:

=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ca+bc+c²

=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac.

Hoạt động 3

Tổ chức tṛ chơi “Thi làm toán nhanh” (7phút)GV thành lập 2 đội chơi. Mỗi đội 5 HS. Mỗi HS làm 1 câu. HS sau có thể chữa bài của HS liền trước. Đội nào làm đúng và nhanh hơn là thắng.

Biến tổng thành tích hoặc biến tích thành tổng.

1) x²-y²

2) (2-x)²

3) (2x+5)²

4) (3x+2)(3x-2)

5) x²-10x+25

(Đề bài viết trên 2 bảng phụ)

GV cùng chấm thi, công bos đội thắng cuộc, phát thưởng.Hoạt động 4

Hướng dẫn về nhà 2 phút)

Học thuộc kỹ các hằng đẳng thức đă học

Bài tập về nhà số 24, 25(b, c) tr12 SGK

bài 13, 14, 15 tr4, 5 SBT

1. 
   Mục tiêu
   

1. 
   Hs nắm được các hàng đẳng thức: Lập phương của 1 tổng, lập phương của 1 hiệu.
   
2. 
   Biết vận dụng các hằng đẳng thức trên để giải toán
   

1. 
   Chuẩn bị của GV và HS
   

1. 
   GV: Bảng phụ (hoặc giấy trong, đèn chiếu) ghi bài tập, phấn màu, bút dạ
   
2. 
   HS: + Học thuộc (dạng tổng quát và phát biểu thành lời) 3 hằng đẳng thức dạng b́nh phương.
   

1. 
   Tiến tŕnh dạy – Học
   

Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4.

Chứng minh rằng a² chia cho 5 dư 1

GV nhận xét cho điểm1 HS lên bảng chữa bài.

a chia cho 5 dư 4

-> a=5n+4 với nN

-> a²=(5n+4)²=25n²+2.5n.4+4²

=25n²+40n+16

=25n²+40n+15+1

=5(5n²+8n+3)+1

Vậy a² chia cho 5 dư 1Hoạt động 2

4. Lập phương của 1 tổng (12 phút)GV yêu cầu HS làm SGK

Tính (a+b)(a+b)² (với a, b là 2 số tuỳ ư)

GV gợi ư: Viết (a+b)² dưới dạng khai triển rồi thực hiện phép nhân đa thức.

GV: (a+b)(a+b)²=(a+b)³

Vậy ta có: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Tương tự:

(A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³

GV: Hăy phát biểu hằng đẳng thức lập phương của 1 tổng 2 biểu thức thành lời.

áp dụng: a) (x+1)³

GV hướng dẫn HS làm.

(x+1)³=x³+3x².1+3x.1²+1³=x³+3x²+3x+1

b) (2x+y)³

Nêu biểu thức thứ nhất ? biểu thức thứ 2?

áp dụng hằng đẳng thức lập phương của 1 tổng để tính.

HS làm bài vào vở, 1 HS lên bảng làm.

=(a+b)(a²+2ab+b²)

=a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³

=a³+3a²b+3ab²+b³

HS: Lập phương của 1 tổng 2 biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất, cộng 3 lần tích b́nh phương biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ 2, cộng 3 lần tích biểu thức thứ nhất với b́nh phương biểu thức thứ 2, cộng lập phương biểu thức thứ 2.

HS: Biểu thức thứ nhất là 2x, biểu thức thứ 2 là y

HS làm bài vào vở.

Một HS lên bảng tính

(2x+y)³=(2x)³+3.(2x)².y+3.2x.y²+y³

=8x³+12x²y+6xy²+y³Hoạt động 3

Nửa lớp tính (a-b)³=(a-b)²(a-b)=...

Nửa lớp tính: (a-b)³=[a+(-b)]⁼³=...

GV: hai cách làm trên đều cho kết quả:

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Tương tự

(A-B)³=A³+2A²B=2AB²+B³

Với A, B là các biểu thức.

GV: Hăy phát biểu hằng đẳng thức của 1hiệu 2 biểu thức thành lời.

GV: So sánh biểu thức khai triển của 2 hằng đẳng thức (A+B)³ và (A-B)³ em có nhận xét ǵ?

áp dụng:

a) Tính

GV hướng dẫn HS làm

b) Tính (x-2y)³

Cho biểu thức thứ nhất? Biểu thức thứ hai? Sau đó khai triển biểu thức

GV yêu cầu HS thể hiện từng bứơc theo hằng đẳng thức.

c) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

(Đề bài đưa lên bảng phụ hoặc màn h́nh)

1) (2x-1)²=(1-2x)²

2) (x-1)³=(1-x)³

3) (x+1)³=(1+x)³

4) x²-1=1-x²

5) (x-3)²=x²-2x+9

Em có nhận xét ǵ về quan hệ của (A-B)² với (B-A)², của (A-B)³ với (B-A)³ HS tính cá nhân theo 2 cách, 2 HS lên bảng tính.

Cách 1: (a-b)³=(a-b)²(a-b)

=(a²-2ab+b²)(a-b)

= a³-a²b-2a²b+2ab²+ab²-b³

=a³-3a²b+3ab²-b³

Cách 2: (a-b)³=[a+(-b)]³

=a³+3a²(-b)+3a(-b)²-b³

HS: Lập phương của 1 hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất, trừ 3 lần tích b́nh phương biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ 2, cộng ba lần tích biểu thức thứ nhất với b́nh phương biểu thức thứ 2, trừ lập phương biểu thức thứ 2.

HS: Biểu thức khai triển cả 2 hằng đẳng thức này đều có 4 hạng tử (trong đó luỹ thừa của A giảm dần, luỹ thừa của B tăng dần)

ở hằng đẳng thức lập phương của 1 tổng, có 4 dấu đều là dấu “+”, c̣n đẳng thức lập phương của 1 hiệu, các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.

HS làm vào vở, 1 HS lên bảng làm.

(x-2y)³=x³-3.x².2y+3.x.(2y)²-(2y)³

=x³-6x²y+12xy²-8y³

HS trả lời miệng, có giải thích

1) Đúng, v́ b́nh phương của 2 đa thức đối nhau th́ bằng nhau.

2) Sai, v́ lập phương của 2 đa thức đối nhau th́ đối nhau. A³=-(-A)³

3) Đúng, v́ x+1=1+x

(Theo t/c giao hoán)

4) Sai, 2 vế là hai đa thức đối nhau

x²-1=-(1-x²)

5) Sai, (x-3)²=x²-6x+9

(A-B)²=(B-A)²

(A-B)³=-(B-A)³Hoạt động 4

a) (2x²+3y)³

b)

Bài 29 tr14 SGK

(Đề bài in trên giấy trong hoặc các nhóm viết vào bảng phụ)HS cả lớp làm vào vở

2 HS lên bảng làm

a) (2x²+3y)³

=(2x²)³+3.(2x²)².3y+3.2x²(3y)²+(3y)³

=8x⁶+36x⁴y+54x²y²+27y³

b)

HS hoạt động theo nhóm làm bài trên giấy trong có in sẵn đề bài (nếu có đèn chiếu)hoặc làm trên bảng nhóm.

bài làm:

U. 16+8x+x²=(x+4)²

H. 3x²+3x+1+x³=(x+1)³=(1+x)³

Â. 1-2y+y²=(1-y)²=(y-1)²^

^

^

^

^

^

^











GV: em hiểu thế nào là con người nhân hậu?HS: Người nhân hâuk là người giàu t́nh thương, biết chia sẻ cùng mọi người, “Thương người như thể thương thân”Hoạt động 5

1. 
   Ôn tập năm hằng đẳng thức đáng nhớ đă học, so sánh để ghi nhớ.
   
2. 
   Bài tập về nhà số 27, 28 tr14 SGK
   

1. 
   Mục tiêu
   

1. 
   Hs nắm được các hàng đẳng thức: Tổng hai lập phương, hiệu hai lập phương
   
2. 
   Biết vận dụng các hằng đẳng thức trên và giải toán
   

1. 
   Chuẩn bị của GV và HS
   

1. 
   GV: Bảng phụ (hoặc giấy trong, đèn chiếu) ghi bài tập, phấn màu, bút dạ
   
2. 
   HS: + Học thuộc ḷng hằng đẳng thức đă biết
   

1. 
   Tiến tŕnh dạy – Học
   

HS1: Viết hằng đẳng thức:

(A+B)³=

(A-B)³=

So sánh hai hằng đẳng thức này ở dạng triển khai.

+ Chữa bài tập 28 9a) tra14 SGK

HS2: + Trong các jhẳng định sau, khẳng định nào đúng:

a) (a-b)³=(b-a)³

b) (x-y)²=(y-x)²

c) (x+2)³=x³+6x²+12x+8

d) (1-x)³=1-3x-3x²-x³

GV nhận xét, cho điểm HSHai HS lên bảng kiểm tra

HS1: +Viết hằng đẳng thức

(A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³

(A-B)³=A³-3A²B+3AB²-B³

So sánh: Biểu thức khai triển của hai hằng đẳng thức nàu đều có bốn hạng tử (trong đó luỹ thừa của A giảm dần, luỹ thừa của B tăng dần)

ở hằng đẳng thức lập phương của 1 tổng, các dấu đều là dấu “+”, ở hằng đẳng thức lập phương của 1 hiệu, các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.

+ Chữa bài tập 28(a) trang 14 SGK

x³+12x².4+3.x.4²+4³ = (x+4)³=10³=1000

a) Sai

c) Đúng

x³-6x²+12x-8 tại x=22

=x³-3.x².2+3.x.2²-2³=(x-2)³=(22-2)³=8000

HS nhận xét bài làm của bạnHoạt động 2

Tính (a+b)(a²-ab+b²) Với a, b là các số tuỳ ư

GV: Từ đó ta có

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

Tương tự:

A³+B³=(A+B)(A²-AB+B²)

Với A, B là các biểu thức tuỳ ư.

GV giới thiệu: (A²-AB+B²) quy ước gọi là b́nh phương thiếu của hiệu hai biểu thức (v́ so với b́nh phương của hiệu (A-B)² thiếu hệ số 2 trong -2AB)

- Phát biểu bằng lời hai hằng đẳng thức tổng 2 lập phương của 2 biểu thức.

áp dụng:

a) Viết x³+8 dưới dạng tích., GV gợi ư x³+8=x³+2³

Tương tự viết dưới dạng tích 27x³+1

b) Viết (x+1)(x²-x+1) dưới dạng tổng.

Sau đó GV cho HS làm bài tập 30(a) tr.16 SGK

Rút gọn biểu thức:

(a+3)(x²-3x+9)-(54+x³)

GV nhắc nhở HS phân biệt (A+B)³

là phương của 1 tổng với A³+B³ là tổng 2 lập phươngMột HS tŕnh bày miệng.

(a+b)(a²-ab+b²)

= a³-a²b+ab²+a²b-ab²+b³=a³+b³

HS: Tổng 2 lập phương của 2 biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức với b́nh phương thiếu của hiệu 2 biểu thức.

HS: x³+8=x³+2³ = (x+2)(x²-2x+4)

27x³+1=(3x)³+1³=(3x+1)(9x²-3x+1)

HS: (x+1)(x²-x+1)=x³+1³=x³+1

HS làm bài tập dưới sự hướng dẫn của GV:

(x+3)(x²-3x+9)-(54+x³)=x³+3³-54-x³

=x³+27-54-x³=-27

Hoạt động 3

7. Hiệu 2 lập phương (10phút)GV yêu cầu HS làm tr.15 SGK.

Tính (a-b)(a²+ab+b²) với a, b là các số tuỳ ư.

GV: Từ kết quả phép nhân ta có:

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

Tương tự: A³-B³=(A-B)(A²+AB+B²)

Ta quy ước gọi (A²+AB+B²) là b́nh phương thiếu của tổng 2 biểu thức.

- Hăy phát biểu bằng lời hằng đẳng thức hiệu 2 lập phương của 2 biểu thức

áp dụng (đề bài đưa lên màn h́nh)

a) Tính (x-1)(x²+x+1)

GV: Phát hiện dạng của các thừa số rồi biến đổi

b) Viết 8x³-y³ dưới dạng tích

GV gợi ư 8x³ là bao nhiêu tất cả b́nh phương.

c) hăy đánh dấu x vào ô có đáp số đúng của tích (a+2)(x²-2x+4)

Sau đó GV cho HS làm bài tập 30(b) tr.16 SGK

Rút gọn biểu thức:

(2x+y)4x²-2xy+y³)-(2x-y)(4x²+2xy+y²)HS làm bài vào vở

(a-b)(a²+ab+b²)=a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³

=a³-b³

HS: Hiệu 2 lập phương của 2 biểu thức bằng tích của hiệu 2 biểu thức với b́nh phương thiếu củatổng 2 biểu thức.

HS: a) (x-1)(x²+x+1)=x³-1³=x³-1

b) 8x³-y³=(2x)³-y³=(2x-y)[(2x)²+2xy+y²]

= (2x-y)(4x²+2xy+y²)

HS lên đánh dấu x vào ô x³+8

HS cả lớp làm bài, 1 HS lên bảng làm

=[(2x)³+y³]-[(2x)³-y³]=8x³+y³-8x³+y³=2y³Hoạt động 4