Bài 17. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) là toàn ánh;
(ii) là ước của khi và chỉ khi là ước của .
Bài 18. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi .
Bài 19 (CH Séc 2006). Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi .
Bài 20 (Rumani 1988). Cho là một toàn ánh và là một đơn ánh sao cho với mọi số nguyên dương ta có . Chứng minh rằng
Bài 21 (IMO Shortlist 1995). Chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một hàm số sao cho với mọi số nguyên dương ta có:
.
Tính tổng .
Bài 22. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . (9)
Bài 23 (Olimpiad Áo – Balan 1997). Chứng minh rằng không tồn tại hàm số sao cho với mọi số nguyên ta có .
Bài 24. Xét tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . Chứng minh rằng là một song ánh. (8)
Bài 25. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . (13)
Bài 26. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . (14)
Bài 27. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . (15)
Bài 28 (Olimpic 30-04-2009). Cho hàm số thỏa mãn điều kiện:
chia hết cho , với mọi . Chứng minh rằng lập thành một cấp số cộng với công sai dương.
Bài 29. Có tồn tại hay không một song ánh thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi số nguyên dương .
Bài 30. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . Chứng minh rằng (11)
