Bài 14 (France 1995). Cho hàm số là một song ánh. Chứng minh rằng tồn tại ba số nguyên dương sao cho và .
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát hơn bài toán trên.
Bài 15. Cho hàm số là một song ánh. Chứng minh rằng tồn tại bốn số nguyên dương sao cho và .
Lời giải.
Do f là một song ánh từ đến nên tồn tại n sao cho .
là tập con khác rỗng của nên tồn tại phần tử nhỏ nhất của M, kí hiệu là b, và . Gọi c là phần tử nhỏ nhất của tập , kí hiệu là c, và . Từ f là song ánh nên tồn tại sao cho .
Từ đẳng thức trên suy ra . Do đó tồn tại sao cho và .
Bài 16 (THTT Tháng 1/2011). Với mỗi , kí hiệu là số tất cả các song ánh thỏa mãn điều kiện với mọi thì .
Chứng minh rằng là số chẵn với mọi .
Chứng minh rằng với và thì .
Chứng minh. Ta có bằng tổng của số các song ánh thỏa mãn và số các song ánh thỏa mãn . Chú ý rằng với thì nên có cách chọn. Do đó ta có đẳng thức sau:
, với chú ý .
Bằng quy nạp ta chứng minh được ngay là số chẵn với mọi .
Từ đẳng thức trên ta chứng minh dễ dàng đẳng thức:
nếu .
Từ đó ta suy ra:
.
Bài 16. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi số thực . (1)
Lời giải.
Trước hết ta chứng minh là một hàm đơn ánh. Thật vậy, xét hai số a,b bất kì. Chọn s sao cho . Khi đó phương trình
có hai nghiệm pbiệt là
có hai nghiệm pbiệt là
Trong (1) lần lượt thay (x,y) bằng ta được:
Từ đó nếu thì a = b suy ra f đơn ánh.
Thay y = 0 trong (1) ta được .
Vậy , trong đó là một hằng số.
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |
