Bài 1 (IMO 1988). Tìm tất cả các hàm thỏa mãn đẳng thức:
,
với mọi .
Lời giải. Thay vào đẳng thức trên ta được (1), và từ đẳng thức này ta có: nếu hay suy ra là đơn ánh.
Ta có , và do là đơn ánh nên (2).
Từ đẳng thức (2) ta có:
,
suy ra
; trong đó .
Thay vào phương trình ban đầu ta được .
Vậy .
Nhận xét. Bằng cách làm tương tự bài trên ta giải được các bài tập sau:
Bài 2 (Canada 2008). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đẳng thức:
,
Với mọi
Bài 3 (Mở rộng Canada 2008). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đẳng thức:
,
Với mọi
Bài 4 (Balkan MO 2009). Kí hiệu là tập hợp các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn đẳng thức:
,
Với mọi
Lời giải. Nếu sao cho
, suy ra hay là đơn ánh.
Dế thấy với mọi ta có:
.
Từ đẳng thức kết hợp với phương trình đã cho ta được:
,
do là đơn ánh nên ta có:
(1)
Từ đẳng thức (1) ta có:
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta được:
(2)
Từ đẳng thức (2) ta suy ra có dạng:
(3)
Mặt khác phương trình ban đầu cho ta được:
(4)
Từ (3) và (4) ta thu được . Vậy , với mọi .
Nhận xét. Bằng cách làm tương tự ta giải được bài toán sau:
Bài 5 (HSG Lớp 10 Vĩnh Phúc 2011). Kí hiệu chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử là hàm số thỏa mãn các điều kiện và
,
với mọi . Tính các giá trị của và .
