ĐƠN ÁNH, toàN Ánh và song ánh trong các bài toán về phưƠng trình hàM
tải về 1.21 Mb.
|
| Bài 9 (IRAN TST 2011). Tìm tất cả các song ánh sao cho:
, Với mọi .(42) Lời giải. Do là một toàn ánh nên với mỗi tồn tại sao cho . Khi đó thay vào phương trình ban đầu ta được: (1) Thay vào phương trình hàm ban đầu và kết hợp với (1) ta được: (2) Từ (1), (2) và do là đơn ánh nên ta có: . Vậy , với mọi . Bài 10. Xét tất cả các hàm đơn ánh thỏa mãn điều kiện: , với mọi . Chứng minh rằng hàm số là một song ánh.(19) Lời giải. Đặt . Khi đó từ phương trình ban đầu ta được: . Do đó ta có (1) +) Ta chứng minh là đơn ánh. Thật vậy với sao cho suy ra hay là đơn ánh. +) Ta chứng minh là toàn ánh. Thật vậy với mọi ta có: và kết hợp với là một đơn ánh ta thu được: . Đẳng thức này chứng tỏ là một toàn ánh. Do đó là một song ánh hay là một song ánh. Bài 11. Xét tất cả các hàm sao cho là đơn ánh và là song ánh thỏa mãn điều kiện , với mọi . Chứng minh rằng là một hàm song ánh. Lời giải. +) Ta chứng minh là đơn ánh. Thật vậy với sao cho suy ra (do là một song ánh). Từ đó suy ra là một đơn ánh. +) Ta chứng minh là toàn ánh. Thật vậy với mọi và do là một song ánh nên tồn tại sao cho (do là đơn ánh). Từ đó suy ra là một toàn ánh. Vậy là một hàm song ánh. Bài 12. Xét tất cả các hàm thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: (i) , với mọi (ii) Số phần tử của tập hợp là hữu hạn. Chứng minh rằng là một hàm đơn ánh.(25) Lời giải. Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chỉ ra được (1) Thay vào phương trình ban đầu ta được . Giả sử sao cho . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử . Khi đó theo điều kiện (i) ta được: (2) Từ (1) và (2) ta thu được: , với mọi . Từ đó kết hợp với điều kiện (ii) ta suy ra . Vậy là một hàm đơn ánh. tải về 1.21 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|