Bài 6 (Indonesia TST 2010). Xác định tất cả các số thực sao cho có một hàm số thỏa mãn:
với mọi .
Lời giải. Dễ thấy nếu không thỏa mãn. Do đó , thay vào đẳng thức trên ta được:
(1)
Từ đẳng thức (1) suy ra là một toàn ánh nên tồn tại sao cho . Khi đó từ phương trình ban đầu ta có:
, với mọi (2)
Từ đẳng thức (2) thì sẽ xẩy ra hoặc .
+) Nếu thì không thỏa mãn phương trình ban đầu.
+) Nếu thì lấy , với mọi thỏa mãn bài toán. Vậy .
Bài 7 (MEMO 2009).Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đẳng thức:
,
Với mọi .
Lời giải +) Nếu với mọi , thử vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn.
+) Nếu tồn tại sao cho . Khi đó với sao cho , từ phương trình trên thay bởi và lần lượt bởi ta được:
(1)
và
(2).
Từ (1) và (2) ta được . Vậy là một đơn ánh.
Thay vào phương trình ta được: , sử dụng là đơn ánh ta được .
Mặt khác thay và phương trình và sử dụng ta được:
Vậy hoặc .
Bài 8 (T11/407 THTT tháng 5 - 2011). Tìm tất cả các hàm số xác định trên tập , lấy giá trị trong và thỏa mãn phương trình
,
với mọi số thực .
Lời giải. +) Cho ta được (1)
+) Ta chứng minh là đơn ánh. Thật vậy nếu sao cho (2).
Từ (1) và (2) ta có (3).
Cho thay vào phương trình đã cho ta được
Từ (4) lần thay bởi ta được
Từ hai đẳng thức này kết hợp với (2) và (3) ta được . Vậy là một đơn ánh.
Do đó từ (1) ta có thử lại thấy thỏa mãn.
