Bài 31. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . (10)
Bài 32. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . (16)
Bài 33. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . (20)
Bài 34. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . (22)
Bài 35. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi (23).
Bài 36. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi (24).
Bài 37. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi (29)
Bài 38 (Morocco 2011). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi
Bài 39. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . (44)
Bài 40 (Shortlist IMO 2007). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi .
Bài 41 (Macedonia NMO 2008). Tìm tất cả các hàm đơn ánh thỏa mãn điều kiện: , với mọi .
Bài 42 (Macedonia NMO 2007). Cho là một số tự nhiên chia hết cho 4. Xác định số song ánh sao cho:
,
với mọi
Bài 43. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi số nguyên dương .
Bài 44. Cho là một tập hữu hạn, cho các song ánh thỏa mãn điều kiện với mọi ta có: hoặc hoặc cả hai đều đúng. Chứng minh rằng với mọi , ta có nếu .
Bài 45 (APMO 1989). Cho hàm số tăng thực sự , nhận giá trị thực trên tập các số thực. Giả sử tồn tại hàm ngược . Tìm tất cả các hàm số như thế sao cho , với mọi số thực .
