Bài 13 (Shortlist IMO 2002). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi .
Lời giải. +) Ta chứng minh là toàn ánh. Thật vậy, thay vào phương trình ban đầu ta được:
,
suy ra là toàn ánh.
+) Do là toàn ánh nên tồn tại sao cho
+) Thay vào phương trình ban đầu ta được:
(1)
+) Do là toàn ánh nên với mọi tồn tại sao cho . Do đó từ đẳng thức (1) ta thu được: . Thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện. Vậy
Bài 14. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện:
,
với mọi . (17)
Lời giải. Với sao cho suy ra . Do đó là một song ánh.
Thay vào phương trình ban đầu ta được:
(1)
Thay vào phương trình ban đầu ta được:
Suy ra là một toàn ánh.
Do đó với mọi thì tồn tại sao cho . Từ đẳng thức (1) ta có:
. Vậy .
Bài 14. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) , với mọi
(ii) Với mọi tồn tại sao cho (27)
Lời giải. Với sao cho nên từ điều kiện (i) ta được:
suy ra là đơn ánh.
Thay vào phương trình ở điều kiện (i) ta được:
(1)
Thay vào phương trình ở điều kiện (i) và kết hợp với (1) ta được:
(2)
Thay bởi trong phương trình ở điều kiện (i) và kêt hợp với (2) ta được:
(3)
Với mọi , tồn tại sao cho . Từ đó suy ra với mọi thì .
Ta chứng minh là hàm đồng biến. Thật vậy với và kết hợp với (3) ta có: suy ra là một hàm số đồng biến.
Do hàm số đồng biến và đẳng thức (2) ta thu được: .
Vậy .
