4.1. Định nghĩa. Nếu và và thì ánh xạ hợp
được xác định bởi
Kí hiệu .
5. Một số kí hiệu : Tập các số tự nhiên
: Tập các số nguyên dương
: Tập các số hữu tỷ
: Tập các số hữu tỷ dương
: Tập các số nguyên
: Tập các số nguyên dương
: Tập các số thực
: Tập các số thực dương.
PHẦN BÀI TẬP MINH HỌA
BÀI T11/409 (THTT, THÁNG 07-2011). Tìm tất cả các hàm số , liên tục trên và thỏa mãn điều kiện
(1)
LỜI GIẢI Thay vào (1) ta được:
(2)
.
Do đó ta thu được:
. Từ đó suy ra:
(3)
Với n là số nguyên dương và đẳng thức (3) ta thu được:
..............
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được:
(4)
Tương tự ta có:
(5)
Thay vào (1) và kết hợp với đẳng thức (4) ta được:
(6)
Tương tự ta có đẳng thức:
(7)
Từ các đẳng thức (6) và (7) ta có:
..............
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được:
. Kết hợp với đẳng thức (2) ta được:
(8)
Trong (8) thay ta được:
Đặt . Khi đó với mỗi số nguyên dương n và từ đẳng thức (8) ta được:
Với mỗi số hữu tỷ luôn biểu diễn dưới dạng , trong đó nên theo đẳng thức (8) và các đẳng trên ta được:
(9)
Với mỗi , tồn tại dãy số hữu tỷ hội tụ đến nên từ đẳng thức (9) và tính liên tục của suy ra . Thử lại thấy thỏa mãn.
