MỤc lục I. HƯỚng dẫn sử dụng máy tính fx 570ms II. CÁC dạng toáN ĐẠi số 1

6. Tìm số chữ số cuối.

123456787989.87554879903

HD: 123456787989.87554879903 = (12345678.10⁴ +7989)( 875548. 10⁴ +9903)

Do đó 4 chữ số tân cùng của tích trên cũng là 4 chữ số tận cùng của tích

7989. 9903 = 79115067

ĐS: 5067

Để tìm n chữ số cuối của số A, thực chất là ta đi tìm số dư của A khi chia cho 10ⁿ. Để tìm số dư khi A chia cho 10ⁿ, thực chất là ta đi tìm số dư của A khi chia cho 2ⁿ và 5ⁿ.

HD : 3²¹ = 3¹⁰⁺¹¹ =3¹⁰ .3¹¹ = 59049. 3¹¹= (5.10⁴ + 9049).3¹¹

Do đó 4 chữ số tân cùng phải tìm là 4 chữ số tận cùng của tích 9049.3¹¹

ĐS: 3203

1. 
   Tìm 2 số tận cùng của A.
   
2. 
   Tìm 3 số tận cùng của A.
   

a. Tìm 2 số tận cùng của A, thực chất là tìm số dư của A khi chia cho 100.

Ta có 100 = 4.25

Trước hết ta tìm số dư của A khi chia cho 25.

2¹⁰=1024 -1 (mod 25)

Do đó A = 2⁴.(2¹⁰)¹⁰⁰ 16 (mod 25)

Hay A có thể viết dưới dạng: A = 25k + 16

Mặt khác: A chia hết cho 4 nên k chia hết cho 4 hay k =4m

Từ đó A = 25k + 16 = 25.4m + 16 = 100m + 16 16 (mod 100)

Vậy 2 số tận cùng của A là 16.

b. Tương tự ta tìm số dư của A khi chia cho 1000 = 8 . 125

2⁵⁰=(2¹⁰)⁵=(1024)⁵ -1 (mod 125)

A=16.(2⁵⁰)⁴ 16 (mod 125) do đó A = 125 k + 16

Mặt khác A chia hết cho 8 nên k = 8m

Vậy A = 1000m + 16 hay 3 số cuối của A là 016.

VÝ dô:3. Tìm chữ số cuối của 7²⁰⁰⁵.

HD:

7⁴= 2401 7⁵ = 16807 7⁶ = 117649

7⁷=823543 7⁸=5764801 7⁹ = 40353607

Ta thấy các số cuối lần lượt là 7, 9, 3, 1 chu kỳ là 4.

Mặt khác: 2005 = 4. 501 + 1

Nên 7²⁰⁰⁵ có số cuối là 7.

HD: Ta có

23¹ 23 (mode 100) 23² 29 (mode 100)

23³ 67 (mode 100) 23⁴ 41 (mode 100)

23²⁰ = (23⁴)⁵ 41⁵ 1 (mode 100) 23²⁰⁰⁰ 1¹⁰⁰ 1 (mode 100)

23²⁰⁰⁵ 23¹.23⁴.23²⁰⁰⁰23.41.1 43 (mode 100)

Vậy số hàng chục là 4.

VÝ dô:5. Tìm 2 chữ số cuối của: A= 2²⁰⁰⁰ + 2²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰² + 2²⁰⁰³ + 2²⁰⁰⁴ + 2²⁰⁰⁵ + 2²⁰⁰⁶ + 2²⁰⁰⁷

HD: A = 2²⁰⁰⁰(1+2+4+8+16+32+64+128)

= (2²⁰)¹⁰⁰ x 255

mµ 2²⁰ = (2¹⁰)² =1024² = 1048576

Ta nhËn thÊy bÊt kú mét sè cã ®u«i lµ 76 th× lòy thõa lu«n lu«n cã ®u«i lµ 76 (dïng m¸y ®Ó kiÓm tra)

Do ®ã: A = 255 x (…76) = ….. 80 . VËy 2 sè cuèi cña A cã gi¸ trị là 80

VÝ dô:6. Tính



ĐS : 526837050

Lời giải chi tiết :

Lập quy trình ấn phím như sau :

Gán 1 cho A ấn 1 SHIFT STO A

Gán 7 cho B ấn 7 SHIFT STO B

Gán 7 cho C ấn 7 SHIFT STO C

Ghi vào màn hình : A = A +1:B = 10B + 7 : C = C + B

Ấn = cho đến khi màn hình hiện A = 17 và ấn = hai lần

C =

Ấn tiếp ALPHA C - = Kết quả : 526800000

P = 526800000 ,ta tìm thêm 5 số cuối và nghi ngờ rằng số 8 có thể đã được làm tròn .( Lưu ý thí sinh nên cẩn thận : vì máy fx -570MS có tính toán bên trong đến 12 chữ số với số có mũ 2 , mũ 3 , còn mũ lớn hơn 3 hoặc số nguyên thì tính toán bên trong là 10 chữ số ,để chắc chắn các bạn nên tính thêm trên máy ES có tính toán bên trong cao hơn ).

Tính tiếp tục : Vì cần tìm 5 số cuối của tổng P nên ta chỉ lấy tổng đến 5 chữ số 7 trong các số từ 77777 đến

Vậy ta có : .Kết quả : 1019739

Và tính = 5236982689 (sáu số cuối của số )

Năm số cuối của P là :

P = 1019739 - 82689 = 37050

Ta thấy kết quả P = 526837050 ( chắc chắn số 8 đã không bị làm tròn vì sau số 8 là số 3 nên số 8 không thề làm tròn

* Mẹo nhỏ:

+) Để tìm 1 chữ số tận cùng của aⁿ.

- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì aⁿ lần lượt có số tận cùng là 0, 1, 5, và 6

- Nếu a có số tận cùng là 2, 3, 7 thì:

2^4k 6 (mod 10)

3^4k 1 (mod 10)

7^4k 1 (mod 10).

Do đó để tìm 1 số tận cùng của aⁿ với a tận cùng là 2, 3, 7 ta lấy n chia cho 4, được n=4k+r.

Nếu a 2 (mod 10) thì a²2ⁿ (mod 10)2^(4k+r) (mod 10)6.2^r (mod 10)

Nếu a 3 (mod 10) thì aⁿa^(4k+r) (mod 10)a^r (mod 10)

VD: Số tận cùng của tích 231⁵⁶.456³². 2345⁹⁸⁷

HD: Số tận cùng của tích 231⁵⁶.456³². 2345⁹⁸⁷ là số tận cùng của tích 1.6.5 là 0

+) Để tìm 2 chữ số tậm cùng của aⁿ.

Ta có:

2²⁰ 76 (mod 100)

6⁵ 76 (mod 100)

7⁴ 01(mod 100)

Mà 76ⁿ 76 (mod 100) với n>=1.

Và 5ⁿ25 (mod 100) với n>=2

Từ đó:

- a^20k01 (mod 100) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10)

- a^20k25 (mod 100) nếu a đồng dư 5 (mod 10)

- a^20k76 (mod 100) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10)

+) Để tìm 3 chữ số tậm cùng của aⁿ.

- a^100k000 (mod 1000) nếu a đồng dư 0 (mod 10)

- a^100k001 (mod 1000) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10)

- a^100k625 (mod 1000) nếu a đồng dư 5 (mod 10)

- a^100k376 (mod 1000) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10)

VD: Tìm 3 số cuối

1) 13¹⁰⁰ 001 (mod 1000)

2) 167²⁰⁰ 001 (mod 1000)

3) (17 x 19)¹⁰⁰ 001 (mod 1000)

4) 18¹⁰⁰ 376 (mod 1000)

5) 15²⁰⁰ 625 (mod 1000)

6) 20³⁰⁰ 000 (mod 1000)

* * Khi thì Với m nguyên không chứa thừa số 2 hay 5 và với các số a, b, …, k, n thì:

Khi m chứa thừa số 2 thì:

Khi m chứa thừa số 5 thì:

1. 
   7²³¹¹7¹¹ 743 (mod 1000)
   

3) 2³¹⁰⁰376.2⁰⁰ 376 (mod 1000)

4) 15⁴⁰²625.15² 625 (mod 1000)

* Khi thì đúng với mọi số nguyên m

2) 3¹⁰⁰⁴3⁴081 (mod 1000)

3) 5¹⁰⁰³5³125 (mod 1000)

4) 6⁵⁰¹¹6¹¹056 (mod 1000)

5) 21¹³⁰⁶21⁰⁶ 121 (mod 1000)

6) 27¹²⁰⁹27⁹ 987 (mod 1000)