CHƯƠng 1 CƠ BẢn về ĐẠi số trừu tưỢNG

Trong chương này, sẽ khảo sát về đại số trừu tượng (abstract algebra), nó là một ngành toán học liên quan đến việc nghiên cứu các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường, hay các cấu trúc tổng quát khác và nó có vai trò quan trọng trong mật mã hiện đại.

1. 
   NHÓM
   

   1. Nhóm

Nhóm (G, _°) là một tập hợp G cùng với một phép toán hai ngôi, ký hiệu _° (là một ánh xạ từ tập G × G → G) thỏa mãn các tiên đề sau:

G1. Tính đóng: Nếu a, b  G, thì a _° b  G.

G2. Tính kết hợp: (a _° b) _° c = a _° (b _° c), với a, b, c  G.

G3. Phần tử đơn vị (trung hòa): Trong G tồn tại một phần tử được gọi là phần tử đơn vị e sao cho với a  G thì a _° e = e _° a = a.

G4. Phần tử nghịch đảo: Với mỗi phần tử a  G tồn tại một phần tử a^-1, gọi là phần tử nghịch đảo của a, sao cho: a^-1 _° a = a _° a^-1 = e.

• 
  a ^-1 _° a = a ^-1 _° a _° e (theo G3)
  
• 
  a ^-1 _° a _° e = a ^-1 _° a _° (a ^-1 _° (a ^-1) ^-1) (theo G4, a ^-1 có một nghịch đảo ký hiệu là (a ^-1) ^-1)
  
• 
  a ^-1 _° a _° (a ^-1 _° (a ^-1) ^-1) = a ^-1 _° (a _° a ^-1) _° (a ^-1) ^-1 = a ^-1 _° e _° (a ^-1) ^-1 (theo G2 và G4)
  
• 
  a ^-1 _° e _° (a ^-1) ^-1 = a ^-1 _° (a ^-1) ^-1 = e (theo G3 và G4)
  

• 
  e _° a = (a _° a ^-1) _° a (theo G4)
  
• 
  (a _° a ^-1) _° a = a _° (a ^-1 _° a) = a _° e (theo G2 và định lý 1.1.1)
  
• 
  a _° e = a (theo G3)
  

• 
  a _° x = a _° (a ^-1 _° b) (thế x)
  
• 
  a _° (a ^-1 _° b) = (a _° a ^-1) _° b (theo G2).
  
• 
  (a _° a ^-1) _° b= e _° b = b (theo G3).
  

Để chỉ ra tính duy nhất, nếu a _° x = b, thì:

• 
  x = e _° x
  
• 
  e _° x = (a ^-1 _° a) _° x
  
• 
  (a ^-1 _° a) _° x = a ^-1 _° (a _° x)
  
• 
  a ^-1 _° (a _° x) = a ^-1 _° b
  

Nếu a _° x = a _° y thì:

• 
  a ^-1 _° (a _° x) = a ^-1 _° (a _° y)
  
• 
  (a ^-1 _° a) _° x = (a ^-1 _° a) _° y
  
• 
  e _° x = e _° y
  

Nếu x _° a = y _° a thì

• 
  (x _° a) _° a ^-1 = (y _° a) _° a ^-1
  
• 
  x _° (a _° a ^-1) = y _° (a _° a ^-1)
  
• 
  x _° e = y _° e
  

1. 
   Tập số thực (R) là một nhóm dưới phép cộng (+):
   

b. Với a, b, c R: (a + b) + c = a + (b + c) (tính kết hợp).

c. Với a R: a + 0 = a (0 là phần tử đơn vị).

d. Với a R: –a + a = 0 (tồn tại phần tử đối lập).

2. 
   Tập số thực khác không (R^#) là một nhóm dưới phép nhân (*):
   

b. Với a, b, cR: (a * b) * c = a * (b * c) (tính kết hợp).

c. Với a R: a * 1 = a (1 là phần tử đơn vị).

d. Với a R: a * a ^-1 = 1 (tồn tại phần tử đối lập).

3. 
   Tập Z₅ = {0, 1, 2, 3, 4} là một nhóm theo phép cộng modulo 5. Vì theo bảng tính toán dưới đây, nó hoàn toàn thỏa mãn 4 tiên đề của nhóm.
   

   +	0	1	2	3	4
   0	0	1	2	3	4
   1	1	2	3	4	0
   2	2	3	4	0	1
   3	3	4	0	1	2
   4	4	0	1	2	3

4. 
   Tương tự có thể chứng minh rằng tập Z_n = {0, 1, 2, 3, …, n – 1} là nhóm đối với phép cộng theo modulo n, ký hiệu .
   

Nhóm G gọi là hữu hạn nếu như tập G có số lượng phần tử hữu hạn, và trường hợp ngược lại gọi là vô hạn.

Nhóm G gọi là giao hoán nếu như với a, b  G thì a _° b = b _° a.

Nói cách khác, nhóm abel là nhóm giao hoán. Sau này sẽ không khảo sát các nhóm không giao hoán, vì vậy mọi nhóm đều là nhóm abel, cho nên thuật ngữ “abel” thường bỏ qua.

Ví dụ 1.1.2

1. 
   Tập hợp của các số nguyên Z là nhóm đối với toán tử (), tức là cặp (G, ) – là nhóm, ở đây e = 0 và a^–1 = – a. Đây là nhóm cộng, vô hạn và abel. (Theo G4: a^-1 + a = 0  a^-1 = -a).
   

2. 
   Các phần tử khác không của tập hợp Q , R và C đối với phép nhân – là các nhóm, trong đó e = 1 và a^–1 là phần tử nghịch đảo, được xác định theo quy tắc thông thường. Ký hiệu các nhóm này là (Q, * ), (R, *) và (C, *). Các nhóm này được gọi là các nhóm nhân và vô hạn.
   
3. 
   Đối với số nguyên bất kỳ n ≥ 1, tập hợp các số nguyên theo modulo n hình thành lên nhóm hữu hạn, bao gồm từ n phần tử. Phần tử đơn vị của nhóm này là số 0, đối với phần tử a bất kỳ sẽ thực hiện điều kiện a^–1 = n – a. Nhóm này được ký hiệu là Z_n và ký hiệu đầy đủ của nhóm này là (Z_n,  (mod n)). (Theo G4: a^-1 + a = 0 mod n  a^–1 = n – a).
   

Số lượng phần tử của tập hữu hạn G được gọi là bậc của G, được kí hiệu là G.

2. 
   
   Каталог: files -> FileMonHoc
   FileMonHoc -> NGÂn hàng câu hỏi lập trình cơ BẢn nhóm câu hỏI 2 ĐIỂM
   FileMonHoc -> CHƯƠng 2 giới thiệu về LÝ thuyết số
   FileMonHoc -> CÁc hệ MẬt khoá CÔng khai kháC
   FileMonHoc -> BỘ MÔn duyệt chủ nhiệm Bộ môn
   FileMonHoc -> Khoa công nghệ thông tin cộng hòa xã HỘi chủ nghĩa việt nam
   FileMonHoc -> Chủ nhiệm Bộ môn Ngô Thành Long ĐỀ CƯƠng chi tiết bài giảNG
   FileMonHoc -> Chủ nhiệm Bộ môn Phan Nguyên Hải ĐỀ CƯƠng chi tiết bài giảNG
   FileMonHoc -> Khoa: CÔng nghệ thông tin cộng hòa xã HỘi chủ nghĩa việt nam
   FileMonHoc -> MẬt mã khóA ĐỐi xứng lý thuyết cơ bản của Shannon
   FileMonHoc -> Khoa công nghệ thông tin bài giảng LẬp trình cơ BẢn biên soạn
   
   
   
   tải về 383.36 Kb.
   
   Chia sẻ với bạn bè của bạn: