CHƯƠng 1 CƠ BẢn về ĐẠi số trừu tưỢNG
tải về 383.36 Kb.
|
- Điều hướng trang này:
- Nhóm thừa số
Bậc phần tử của nhómĐịnh nghĩa 1.1.8 (Bậc phần tử của nhóm) Cho G là một nhóm và Chú ý: biểu thức ai được sử dụng để chỉ toán tử lặp (a ° a °…°a) i lần (i nguyên, dương). Khi ° = +, thì a ° a °…°a = a . i, còn khi ° = *, thì a ° a °…°a = ai . Ví dụ 1.1.4
Đối với nhóm  (nhóm với toán tử cộng, e = 0)
Đối với nhóm  (nhóm với toán tử nhân, e = 1)
Đối với nhóm  (nhóm với toán tử nhân, e = 1)
Định lý 1.1.17: Cho G là nhóm hữu hạn và  là phần tử bất kỳ của nhóm. Khi đó ord(a)|#G.
Chứng minh: Nếu như a = e, thì ord(a) = 1 và điều kiện ord(a)|#G là hiển nhiên. Ngược lại các phần tử  , sẽ tạo nên nhóm con của G. Theo định lý Lagrange thì ord(a)|#G.
Định lý 1.1.17, dẫn ra từ định lý Lagrange, miêu tả sự liên hệ giữa bậc của nhóm với các bậc của các phần tử của nhóm này. Mối tương hỗ này có ứng dụng quan trọng trong mật mã với khoá công khai: hệ mật nổi tiếng Rivest, Shamir và Adleman (RSA), hoạt động trên cơ sở của nhóm, mà bậc của nó là khoá riêng, chỉ được biết bởi chủ nhân của khoá. Văn bản mã có thể xem xét như phần tử ngẫu nhiên của nhóm nào đó. Biết bậc của nhóm, chủ nhân của khoá có thể sử dụng sự phụ thuộc giữa bậc của phần tử và bậc của nhóm để biến đổi văn bản mã thành văn bản rõ (tức là giải mã). Chúng ta sẽ nghiên cứu hệ mật RSA sau này.
Định nghĩa 1.1.9 (Nhóm thừa số) Cho một nhóm G và nhóm con tách biệt H của G. Nếu định nghĩa tích của hai liên tập g * H và g’ * H là liên tập g * g’ * H thì tập hợp các liên tập của G theo H với phép nhân đó làm thành một nhóm, gọi là nhóm thừa số của G theo H, kí hiệu là G/H. Ví dụ 1.1.5 (Nhóm thừa số) Cho  là một số nguyên, tập là nhóm con của  tương ứng với phép cộng. Thì có nhóm thừa số:
Bởi vì:
|
, thỏa mãn điều kiện 
. Số này ký hiệu là ord(a). Nếu như số i không tồn tại thì a là phần tử có bậc vô hạn.
,
, khi lập bảng lưu tâm chú ý trên, như sau:
gồm tất cả các số nguyên theo phép cộng – là một nhóm cyclic, 
và 
với 
, n 0.
, …