CHƯƠng 1 CƠ BẢn về ĐẠi số trừu tưỢNG

Vành

Vành (R, +, ) chứa tập R với hai phép toán hai ngôi (được ký hiệu là + (cộng) và  (nhân)) thỏa mãn các tiên đề sau:

R1. (R, +) là một nhóm giao hoán đối với phép cộng. Phần tử đơn vị đối với phép cộng (không) được ký hiệu 0.

R2. Phép  có tính phân phối đối với phép +, nghĩa là:

R3. Phép  có tính kết hợp, nghĩa là:

R4. Đối với phép  vành R phù hợp theo các tiên đề đóng kín, kết hợp. Phần tử đơn vị đối với phép nhân (đơn vị) được ký hiệu 1, với 1  0.

1. 
   Tập hợp các số nguyên Z với phép cộng và nhân thông thường là một vành.
   
2. 
   Tập các ma trận vuông cùng cấp n với phép cộng và nhân ma trận là một vành.
   
3. 
   Tập các số với phép cộng và nhân theo modulo n ký hiệu là là một vành, thường gọi là vành theo thặng dư n.
   
4. 
   Đối với bất kỳ n > 0, nhóm là vành đối với các toán tử cộng và nhân theo modulo n, và 0 = 0, 1 = 1.
   

Vành giao hoán là vành R trong đó phép nhân có tính chất giao hoán.

Vành trong đó phép nhân có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị.

Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu chính A là một vành với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tính đóng của hai phép toán này trên A).

• 
  Cho A là một ideal của vành R và phần tử x R. Tập con của R gồm các phần tử dạng x + a với a A được gọi là một liên tập của A theo x.
  
• 
  Ký hiệu R/A là tập hợp tất cả các liên tập của A với x R: R/A = {x + A| x R} được gọi là tập thừa số của R theo A.
  
• 
  Trên tập thừa số R/A có thể xác định hai phép toán cộng và nhân như sau:
  
  • 
    (x + A) + (y + A) = (x + y) + A
    
  • 
    (x + A) * ( y + A) = (x * y) + A
    

2. Một số khái niệm về ideal

1. 
   Vành con A của vành R được gọi là ideal trái (hoặc phải) của R nếu x  a A (hoặc a  x A) với a A, với x R.
   
2. 
   Vành con A vừa là ideal trái, vừa là ideal phải của R được gọi là ideal của R.
   
3. 
   Giao của họ bất kỳ các ideal của R là ideal của R.
   
4. 
   Cho tập con X  R, ideal nhỏ nhất của R chứa X được gọi là ideal sinh bởi X.
   

3. Đồng hình vành

Cho R₁ và R₂ là hai vành. Ánh xạ f: R₁  R₂ được gọi là đồng hình vành nếu f bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R, nghĩa là với a, b R:

1. 
   f(a + b) =f(a) + f(b),
   
2. 
   f(a  b) =f(a)  f(b).
   

1. 
   TRƯỜNG
   
   1. 
      Trường