CHƯƠng 1 CƠ BẢn về ĐẠi số trừu tưỢNG
tải về 383.36 Kb.
|
- Điều hướng trang này:
- Ví dụ 1.1.3 (Nhóm con) Đối với phép cộng .
- Định nghĩa 1 . 1.6 (Nhóm con tách biệt và nhóm con không tầm thường)
- Định lý 1. 1. 9
- Định lý 1 . 1.12
- Định lý 1.1.13
- Định lý 1.1.15
Nhóm conĐịnh nghĩa 1.1.5 (Nhóm con) Một tập con H của G được gọi là một nhóm con của một nhóm (G, °) nếu H thỏa mãn các tiên đề về nhóm và sử dụng cùng các toán tử °. Như vậy, nếu H là một nhóm con của (G, °), thì (H, °) cũng là một nhóm, và đồng thời thỏa mãn các định lý trên. Kí hiệu Ví dụ 1.1.3 (Nhóm con)
Định nghĩa 1.1.6 (Nhóm con tách biệt và nhóm con không tầm thường) Một nhóm con tách biệt của một nhóm G là một nhóm con khác G (H ≠ G), ký hiệu H G. Một nhóm con không tầm thường của G là bất kỳ nhóm con tách biệt nào của G chứa một phần tử khác e. Định lý 1.1.9: Nếu H là một nhóm con của (G, °), thì phần tử đơn vị eH của H giống với phần tử đơn vị e của nhóm (G, °). Chứng minh: Nếu h H, thì h ° eH = h; vì h cũng phải thuộc G, h ° e = h; do đó theo định lý 1.1.4, eH = e. Định lý 1.1.10: Nếu H là một nhóm con của G, và h là một phần tử của H, thì nghịch đảo của h trong H giống với nghịch đảo của h trong G. Chứng minh: Gọi h và k là các phần tử của H, sao cho h ° k = e, bởi vì h cũng thuộc G, h ° h -1 = e do đó theo định lý 1.1.5, k = h -1. Định lý 1.1.11: Nếu S là một tập con không rỗng của G, thì S là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu với a, b S, a ° b -1 S. Chứng minh: 1. Nếu với a, b S, a ° b -1 cũng thuộc S, thì
Do đó, các tiên đề về tính đóng, phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo, và tính kết hợp được kế thừa do đó S là một nhóm con. 2. Ngược lại, nếu S là một nhóm con của G, thì nó tuân theo các tiên đề về nhóm.
Định lý 1.1.12: Giao của các nhóm con của nhóm G là một nhóm con. Chứng minh: 1. Gọi {Hi} là một tập các nhóm con của G, và K = ∩{Hi}. 2. e là phần tử của mọi Hi theo định lý 1.1.9, do đó K không rỗng. 3. Nếu h và k là các phần tử của K, thì với i, có:
Định lý 1.1.13: Gọi a là một phần tử của một nhóm (G, °), khi đó tập hợp {an: n nguyên} là một nhóm con của G. Định nghĩa 1.1.7 (Liên tập, hay liền kề) Cho G là nhóm abel, H G và tập hợp {a ° hh H} gọi là liên tập trái (left coset) của nhóm con H trong G và ký hiệu là a ° H, và tập hợp {h ° ah H} gọi là liên tập phải (right coset) của nhóm con H trong G và ký hiệu là H ° a
Giả sử
|
.
.
là nhóm con của mọi nhóm.
là {0}, {0, 3}, {0, 2, 4} và chính nó. Các nhóm {0, 1}, {0, 5} không là nhóm con của 
thì
, tức là số lượng phần tử của H là ước số của G.
nhỏ hơn nhóm G và giả sử 
. Lúc này tất cả các phần tử của tập 
khác nhau và không trùng với các phần tử của H. Vì từ 
dẫn đến 
, nhưng 
dẫn đến 
là không thể. Nếu như 
, thì định lý được chứng minh. Nếu như H Hx nhỏ hơn G, thì có thể chọn 
và thành lập nên tập 
. Tương tự các phần tử của tập này cũng khác nhau và không trùng với các phần tử của tập 
. Cứ tiếp tục như thế, nhận kết quả như sau 
. Từ đây có 
chia hết cho n.