CHƯƠng 1 CƠ BẢn về ĐẠi số trừu tưỢNG

1. 
   , bởi vì mọi phần tử của đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của 1 hoặc 5 theo modulo 6.
   
2. 
   ,bởi vì mọi phần tử của đều có thể biểu diễn dưới dạng tích của các số 2 hoặc 5 theo modulo 9
   
3. 
   
   
4. 
   Nhóm không là nhóm cyclic
   
5. 
   Cũng dễ dàng chứng minh được rằng nhóm nhân với p là số nguyên tố là một nhóm cyclic.
   
6. 
   Với là số nguyên tố, thì nhóm là nhóm cyclic với 
   

Đối với n  Z, ở đây n  1, hàm Euler (n) bằng số lượng các số nguyên k, sao cho 0  k < n và gcd(k, n) = 1.

1. 
   Nhóm con bất kỳ của nhóm vòng cũng là nhóm vòng.
   
2. 
   Với mỗi ước số dương d của số a của nhóm a bao gồm chỉ một phân nhóm, mà nó có bậc d.
   
3. 
   Nếu a = m, thì a^k = ord(a^k) = m/ gcd(k, m).
   
4. 
   Với mỗi ước số dương d của số a của nhóm a bao gồm (n) phần tử, mà nó có bậc d.
   
5. 
   Giả sử a = m. Khi đó nhóm a bao gồm (m) phần tử sinh. Chúng là các phần tử a^r, sao cho gcd(r, m) = 1.
   

6. Nhóm nhân

Nhóm được gọi là nhóm nhân với toán tử nhân của nhóm, bao gồm các phần tử là số nguyên dương, nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n. Nhóm này bao gồm (n) = (p – 1)(q – 1) phần tử.

Nhóm này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và mật mã học. Đặc biệt là việc tìm bậc của nhóm giúp kiểm tra tính nguyên tố của n. Nếu như bậc của nhóm là n –1 thì n là số nguyên tố.

Ví dụ 1.1.7

1. 
   Cho nhóm , các phần tử của nhóm là 1, 2, 3, 4. Bậc của nhóm là 4. nên 5 là số nguyên tố.
   
2. 
   Cho nhóm , các phần tử của nhóm là 1, 3, 7, 9. Bậc của nhóm là 4, nên 10 không phải là số nguyên tố.
   

7. Đồng hình, đẳng cấu

Giả sử G₁ và G₂ là các nhóm,  và  là các toán tử tương ứng trong các nhóm này. Ánh xạ f: G₁  G₂ được gọi là đồng hình G₁ trong G₂, nếu , thỏa mãn biểu thức sau f (a  b) = f(a)  f(b). Thông thường các toán tử trong các nhóm này không khác nhau, vì vậy điều kiện đồng hình có thể viết dưới dạng f (ab) = f(a)f(b). Tương tự như vậy có thể định nghĩa các nhóm đồng hình con.

Nếu nhóm đồng hình f: G₁  G₂ là song ánh, với nó f ^–1(G₂) = G₁, thì nó được gọi là đẳng cấu của nhóm G₁ trong G₂.

Ví dụ 1.1.8 (Đồng hình)

1. 
   Phép đồng hình của nhóm nhân (gồm các số thực dương) trong nhóm cộng (gồm các số thực) được thực hiện dưới dạng sau:
   

log xy = log x + log y, x, y 

2. 
   Phép đồng hình của nhóm cộng (gồm các số thực) trong nhóm nhân (gồm các số thực dương) được thực hiện dưới dạng sau:
   

exp(x + y) = exp(x) + exp(y), x, y 