B3 Dữ liệu ở dạng (t,p) trên một đồ thị có quy mô thích hợp. đồ thị của bạn sẽ xuất hiện là một hàm mũ

B3 Dữ liệu ở dạng (t,p) trên một đồ thị có quy mô thích hợp. đồ thị của bạn

sẽ xuất hiện là một hàm mũ . nghiên cứu các biểu đồ, dữ liệu và đoán

nhiệt độ giới hạn L . bạn cũng có thể sử dụng một đầu dò nhiệt độ thứ 2

đo nhiệt độ phòng, L

B4 Trừ giới hạn này từ nhiệt độ cảu bạn và tìm logarit của danh sách mới

này. Dữ liệu ở dạng ( t,log (p – L)) . nếu dữ liệu không phải là tuyến

tính thì thử một giới hạn khác

B5 Tìm phương trình các dữ kiện này trong B4 , và sử dụng nó để tìm một

phương trình theo mẫu (t,p) với dữ liệu ở bước 3. ý nghĩa thực tế về giá

trị trong phương trình cuối cùng

BÀI TẬP
Luyện tập kỹ năng

1. 
   chứng minh các biểu thức sau là đúng. Lấy logarit cả 2 bên, sau đó sử dụng tính chất của logarit để biểu diễn lại mỗi bên cho đến khi bạn có 2 biểu thức giống hệt nhau:
   

a. b.

2. 
   giải các phương trình sau. Kiểm tra đáp án của bạn bằng cách thay đáp án đó vào x:
   

a. b. c. 16 =

d. 478 = e. f.

3. 
   giả sử hang tháng bạn đầu tư 3000€ với lãi suất 6.75%. hỏi sau bao lâu số tiền của bạn sẽ tăng gấp 3 lần? 289
   

4. 
   áp dụng: hạn sử dụng của sữa (và những chất dễ hư hỏng khác ) sẽ phụ thuộc vào nhiệt độ bảo quản. giả sử sữa bảo quản trong tủ lạnh 4◦C trong 146h. sữa còn lại để trong nhà bếp 22◦C trong vòng 42h. bởi vì vi khuẩn phát triển nhanh, bạn có thể giả định rằng sữa tươi phân rã yheo cấp số nhân.
   

a/ viết phương trình thể hiện số giờ, h, mà sữa sẽ được giữ ở mức nhiệt, T.

b/ sử dụng phương trình của bạn để dự đoán xem bao lâu sữa sẽ đạt nhiệt độ là 30◦C và 16◦C.

c/nếu một bình sữa trở nên chua sau 147h thì nó sẽ được lưu giữ ở nhiệt độ bao nhiêu?

d/ vẽ đồ thị mối quan hệ giữa giờ và nhiệt độ, sử dụng phương trình của bạn từ câu 4a và 5 dữ kiện bạn đã tìm thấy

e/ miền xác định cho mối quan hệ này là gì? Tại sao?

5. 
   phương trình cho tổng doanh thu x sau khi phát hành một trò chơi điện tử mới, tìm mọi giá trịn và ý nghĩa thực tế.
   

a. f (20) b. f (80)

c. tìm x khi f(x)=6000 d. nêu các bước để giải câu 5c

e. vẽ đồ thị các phương trình trong một khổ đủ lớn để bạn có thể thấy những hành vi tổng thể của đường cong., sử dụng đồ thị của bạn để miêu tả sự thay đổi số lượng trò chơi được bán ra mối ngày. Liệu mẫu này có hợp lý không?

6. áp dụng: cường độ của âm thanh, D, được đo bằng desiben (dB) cho bởi công thức:

Trong đó I là ngưỡng âm thanh trong đơn vị Watt cho mỗi (W/) và W/ là

mức âm thanh dưới ngưỡng nghe.

a/ tìm số dB của ở ngưỡng thì thầm

b/ tìm số dB trọng cuộc trò chuyện bình thường của 3.16. W/.

c/ tìm ngưỡng âm thanh (W/) của những thành viên ban nhạc từng ngồi trước đồ

đồng, đo tại 107 dB.

d/ âm thanh ở 47dB mạnh hơn bao nhiêu lần so với âm thanh ở 42dB? 290

7. áp dụng: bảng sau đây cung cấp độ ồn của lwoif nói, đo tại nguồn và khoảng cách tối đa mà một người có thể nhận ra dọng nói. Tìm một phương trình thể hiện khoảng cách tối đa như một chức năng của âm lượng.

a/ tìm dữ liệu bằng máy tính của bạn và làm một phác thảo trên giấy.

b/ thử nghiệm để tìm mối quan hệ giữa x và y bằng cách kết hợp x,y, log x, log y khác nhau cho đến khi bạn tìm thấy đồ thị mà mô tả dữ liệu tốt nhất. phác họa đồ thị trên giấy và kí hiệu trục với x,y,log x, log y thích hợp.

c/ tìm phương trình của đường thẳng phù hợp với những giả thiết bạn đã chọn ở 7b. hãy nhớ rằng các trục của bạn không đại diện cho x và y, vậy thay thế (logx) hoặc (logy) vào phương trình của bạn cho phù hợp.

d/ vẽ đồ thị phương trình mới này với dữ liệu gốc. liệu nó có phải là một mẫu đúng?
8. một thùng chứa nước trái cây trong phòng ở nhiệt độ 74*F . sau 8 phút, niệt độ được ghi lại đều đặn như sau:



a/ phác họa dữ liệu sử dụng một khổ thích hợp. phác thảo sơ qua đồ thị này.

b/ tìm một hàm mũ cho nhiệt độ như một hàm theo

thời gian

( lưu ý: đường cong này vừa ánh xạ được vừa chuyển đổi được)
9. áp dụng trong thời tiết tốt, khoảng cách bạn có thể nhìn thấy từ cửa sổ trên máy bay phụ thuộc vào chiều cao của bạn trên trái đất, được thể hiện ở bảng bên phải.

a/ vẽ đồ thị kết hợp các điểm x,y,logx,logy khác nahu cho đến khi bạn tìm ra sự kết hợp dữ liệu phù hợp.

b/ sử dụng kết quả của bạn ở câu 9a để tìm phương trình phù hợp nhất cho dứ liệu ở dạng (độ cao,tầm nhìn) sử dụng dã liệu trong bảng này.
10. Quinn bắt đầu chỉnh sữ hồ bơi của mình cho mùa giải với mức điều chỉnh 4 gal clo. Mối 24h, 15% clo bốc hơi. Sang hôm sau, cô ấy them ¼ gal clo vào hồ và tiếp tục làm vậy vào mỗi buổi sang.

a/ Sau một ngày có bao nhiêu clo trong hồ bơi ( sau khi cô ấy thêm ¼ clo vào ngày đầu tiên)? Sau 2 ngày ? viết một công thức đệ quy cho mô hình này.

b/ Sử dụng công thức từ câu 10a để tạo một bảng giá trị và phác họa đồ thị của 20 giá trị. Tìm một mô hình rõ rang phù hợp với dữ liệu

291

11. tìm các hàm số sau:

a/ tìm hàm số mũ mà đi qua các điểm (4,18) và (10,144)

b/ tìm hàm số logarit ma đi qua các điểm (18,4) và (144,10)
12. công ty cá Highland đang bắt đầu một dòng cá đông lạnh mới. nó sẽ có gia 19,000$ để thiết lập dây chuyền sản xuất và 1,75$ cho mỗi pound để mua và xử lí cá. Công ty sẽ bán thành phẩm với giá bán là 1.92$ cho mỗi pound

a/viết một hàm số về chi phí và một hàm chức năng thu thập cho liên doanh HFC mới

b/ vẽ đồ thị cả hai hàm trên cùng một đồ thi trong miền giá trị

c/ có bao nhiêu pound cá mà HFC phải sản xuất trước khi nó bắt đầu tạo ra lợi nhuận ở các liên doanh mới?

d/ HFC mong đợi bao nhiêu lợi nhuận từ 500,000 pond cá đầu tiên?

13. phác họa đồ thị của . Cho tọa độ của một vài điểm để xác định hình dạng
14. giải các phương trình sau. Làm tròn đến phần trăm:

a/ b/ c/

Thu thập bình quân hang năm của các công nhân ở Hoa Kỳ , tuổi từ 25 trở lên,

đươc liệt kê trong bảng này. Kiểm tra các mối quan hệ khác khau, chẳng hạn các

dữ liệu ở hình thức (thời gian, đàn ông), ( thời gian, phụ nữ), (thời gian, đàn

ông – phụ nữ),(thời gian,đàn ông/phụ nữ)… tìm mẫu phù hợp nhất cho những

mối quan hệ này mà thấy rằng có ý nghĩa nhất. viết một báo cáo mà trong đó bạn

giải thích về một số mẫu của mình và đưa ra dự đoán cho tương lai. Tìm các dữ

liệu gần đây cho thấy rằng dự đoán của bạn là chính xác cho đến ngày nay.

Dự án của bạn cần bao gồm:

►báo cáo của bạn, bao gồm đồ thị, mô hình và dự đoán

liên quan.

► Dữ liệu gần đây ( nhớ trích dẫn nguồn của bạn)

► một phân tích về như thế nào là tốt cho các dữ

liệu gần đây phù hợp với phán đoán của bạn.
“ phụ nữ chiếm một nửa của dân số thế giới,

Thực hiện gần 2/3 giờ làm việc của mình, nhận được 1/10 thu nhập của thế giới và sử hữu ít hơn 1/100 tài sản của

thế giới.”

( báo cáo của Liên hợp quốc, 1980)

292

Bạn đã từng khảo sát số lượng tiền lãi kiếm được trong một tài khoản tiết kiệm khi mà tiền lãi được điều chỉnh hằng năm, hang tháng. Nhưng điều gì xảy ra nếu tiền lãi tiếp tục phức tạp, điều này óc nghĩa là ngay khi tiền lãi của bạn được điều chỉnh trong tài khoản và tiền lãi mới sẽ được tính vào đó.đây là lạo tăng trưởng liên quan đến một số, e. số này có giá trị xấp xĩ 2,71, và giống như п, nó là một số siêu việt- là số vô hạn không tuần hoàn. Hàm logarit với cơ số e, ,cũng được viết là lnx, và được gọi là hàm logarit tự nhiên

Nhà toán học Thụy sĩ Jacob Bernouli (1654-1705) khám phá theo vấn đề vào năm 1683. giả sử bạn đặt 1$ vào tài khoản và kiếm 100%lãi suất 1 năm. Nếu lãi suất chỉ điều chỉnh một lần, vào cuối năm bạn sẽ kiếm được 1$ trong lãi suất và tài khoản của bạn sẽ có 2$. Nếu lãi suất được điều chỉnh thường xuyên hơn thì sao?.làm theo các bước dưới đây để phân tích tình huống này

Bước 1 nếu lãi suất được điều chỉnh 10 lần một năm, tài khoản của bạn sẽ có bao nhiêu vào cuối năm? Nhớ rằng nếu 100% lãi xuất được điều chỉnh 10 lần, bạn sẽ kiếm được 10% trong mỗi lần.kiểm tra đáp án của bạn với nhóm khác để chắc chán rằng bạn làm đúng.

Bước 2 dự đoán điều gì xảy ra nếu số lãi suất của bạn kiếm được liên tục điều chỉnh

Bước 3 điều gì sẽ xảy ra với tài khản của bạn vào cuối năm nếu lãi suất điều chỉnh 100 lần? 1000 lần? 10,000 lần? 1,000,000 lần?đáp án của bạn so sánh với dự đoán ở bước 2 như thế nào?

Bước 4 viết một phương trình cho tài khoản của bạn nếu lãi suất được điều chỉnh x lần mối năm,vẽ đò thị đó trên máy. Phương trình này dường như gần đúng với một giá trị chạy cụ thể hay có giới hạn? nếu vậy,nó là gì ? nếu không thì xảy ra điều gì?

Bước 5 tìm e trên máy tính của bạn và tìm giá trị của nó lấy đến chữ số thập phân thứ 6. mối quan hệ giữ số này với đáp án của bạn ở bước 4 là gì?

Bước 6 khi lãi suất liên tục được điều chỉnh, dạng thành khi P là vốn chính ( giá trị ban đầu cho vốn đầu tư của bạn), e là cơ số mữ tự nhiên, r là tỉ suất tiền lãi và t là số lần đầu tư trong tìa khoản. sử dụng dạng này để tính giá trị của 1$ đã gửi vào tài khoản để kiếm được 100%lãi suất hằng năm. Tính giá trị này nếu nó ở trong tài khoản tương tự cho 10 năm.

293




1.dạng thường là một mẫu chính xác ccho sự phát triển hoặc sa sút của một vấn đề , bởi vì những điều này thường phát triển và sa sút liên tục, không vào một thời gian cụ thể. Ví dụ, mật độ vi khuẩn sẽ gấp dôi mỗi 4 tiếng, nhưng nó ngày càng tăng trong suốt 4 giờ, không đột ngột gấp đôi giá trị khi chính xacsau 4 giờ có sự biến đổi. trở lại vấn đề về bao hàm phát triển và sa sút của vấn đề này, vf sử dụng mẫu mới để giải quyết vấn đề. Câu trả lời của bạn so với đáp án ban đầu như thế nào?

2. cường độ ánh sang ,I, của chum ánh sang sau khi đi qua t cm chất lỏng cho bởi , trong đó A là cường độ của ánh sangskhi nó đi qua chất lỏng, e là cơ số mũ tự nhiên và k lafhawngf số ứng với chất lỏng cụ thể. Trong một cuộc vượt bieenrmootj lớp sinh vật biển lấy cường độ ánh sang owr dáy hồ. ở độ sau 50cm, ánh sang còn 80%so với ánh sang trên bề mặt.

a/ tìm giá trị của k ở đáy hồ

b/ nếu cường dộ ánh sang được đo bằng 1% cường độ trên bề mặt, có thể đoná được ở độ sâu nào?,





294

Hàm mũ cung cấp các kỹ năng và các phương trình liên tục để tạo mô hình chuỗi hình học. chúng có thể được sử dụng để mô hình hóa sự tăng trưởng dân số, sự phân rã của chất phóng xạ và những hiện tượng khác. Dạng chung của một hàm mũ là trong đó a là số lượng ban đầu và b là cơ số biểu thị tỉ lệ tăng trưởng hay phân rã. Bởi vì mũ có thể lấy tất cả các giá trị là số thực, kể cả số âm và phân số, việc bạn hiểu ý nghĩa của các mũ này rất quan trọng. bạn cũng có thể sử dụng dạng điểm-tỉ số cho phương trình này .

Cho đến khi bạn đọc chương này, bạn vẫn chưa có phương hướng để giải một phương trình mũ, ngoài việc đoán và kiểm tra. Trước đây bạn định nghĩa hàm ngược của hàm mũ – hàm logarit-bạn có thể giải quyết những hàm mũ đơn giản. hàm ngược của một hàm là mối liên hệ bạn sẽ tìm ra khi tất cả các biến độc lập hoán dổi với giá trị của biến phụ thuộc. đồ thị của một hàm và hàm ngược của nó đối xứng qua đường thẳng . Định nghĩa của hàm logarit là nghĩa là . Bạn đã được học rằng các tính chất của hàm logarit là tương tự với hàm mũ : logarit của một tích là tổng các logarit, logarit của một thương bằng hiệu các logarit và logarit của một số nâng lũy thừa bằng tích của logarit với số đo. Bằng cách nhìn vào logarit của biến x hoặc biến y hoặc cả hai biến trong một dữ liệu, bạn có thể loại phương trình tốt nhất để làm mô hình cho dữ liệu bằng cách tìm cải tạo đồ thị tuyến tính nhất.

3. 
   xác định giá trị của mỗi biểu thăc sau mà không sử dụng máy tính. Sau đó kiểm tra bằng máy tính:
   

a/ b/ c/ d/ e/

f/ g/ h/ i/

4. 
   viết lại biểu thức sau ở dạng khác:
   

a/ logx + logy b/ c/

d/ e/ f/

5. 
   sử dụng tính chất của mũ và logarit để giải các phương trình sau. Chứng thực câu trả lời của bạn bằng cách thay nó vào x:
   

a/ b/ c/ d/

e/ f/ g/ h/

295

6. 
   tìm x. làm tròn đến phần ngàn:
   

a/ b/ c/

d/ e/ 147=12.1 f/

7. 
   trước đây một loại thuốc chất trong mau mà một nửa thời gian tồn tại của nó là 16h. hỏi sau bao lâu thì 45 thuốc ban đầu gairm còn 8 (lầm tròn 0,1h)?
   

8. 
   cho , tìm:
   

a/ f(2.5) b/ c/ d/

9. 
   tìm phương trình mũ của đương cong đi qua điểm (1,5) và (7,32)
   

10. 
    vẽ hàm ngược của f(x)
    

11. 
    tri thức của bạn ngày càng rông cùng với sự phát triển của bạn.c ó những phát triển đến từ những năm đầu của cuộc sống. và có rất ít sự phts triển thêm khi bạn đã đạt đến tuổi trưởng thành. Tỉ lệ phần trăm về kích cỡ trưởng thành với trí óc của bạn được cho bởi dạng , trong đó x là tuổi của bạn và y là tỉ lệ phần trăm của kích cỡ trung bình của người trưởng thành.
    

a/vẽ đồ thị hàm này.

b/ miền xác định và tập giá trị của hàm này là gì?

c/ mô tả sự biến đổi của đồ thị của hàmtheo kết quả đồ thị ở 9a.

d/ trí óc của một đứa trẻ 2 tuổi có tỉ lệ phần trăm so cới kích cỡ người trưởng thành như thế nào?

e/nếu chu vi bộ não của một người là 75% so với người trưởng thành trung bình thì người đó bao nhiêu tuổi?

12. 
    Một kế hoạch khuyến mãi mới cho công ti trò chuyện điện thoại đường dài về việc thay đổi giá của một cuộc gọi theo dạng cost= a + b log t, trong đó t là thời gian theo phút.với một cuộc gọi đường dài , giá của 1 phút đầu tiên là 0.50$. giá của 15 phút là 3.44$.
    

a/ tìm giá trị của a trong phương trình

b/ tìm giá trị của b trong phương trình

c/ mặt bị chặn bởi trục x của phương trình là gì? Ý nghĩa thực tế của mặt bị chặn bởi trục x là gì?

d/ sử dụng phương trình của bạn để dự đoán cước phí cho cuộc gọi 30 phút.

e/ nếu bạn quyết định bạn có thể chỉ đủ một cuộc gọi 2$, thì bạn có thể nói chuyện bao lâu?

296

13. 
    Áp dụng: một “ đường cong kiến thức” mô tả tỉ lệ bài tập có thể được làm. Giả sử phương trình
    

Dự đoán tời gian t (trong số thời kì ngắn ngày) cần để đạt được mục đích thuộc được N từ trên phút (wpm)

a/sử dụng phương trình này, mất bao lâu để ai đó học được 40 wpm?

b/ nếu một nười bình thường có 47 bài học thì tốc đọc mà bạn mong người đó đạt được là bao nhiêu?

c/ giải hình hình dạng đồ thị về mới liến hệ giữa nó với thời gian học, miền thực tế cho vấn đề này là gì?

14. 
    Áp dụng: tất cả loàii đều bắt đầu từ một tế bào dơn lẻ. tế bào này tách thành 2 tế bào, sau đó mỗi tế bào này lại tách ra thành 2 tế bào và cứ tiếp tục như vậỵ .
    

a/viết công thức đệ quy cho sự phân chia tế bào bắt đầu từ một tế bào đơn lẻ

b/ viết công thức rõ rang cho sự phân chia tế bào

c/ vẽ phác hoạc đồ thị của công thức ở câu 12 a và b

d/ mô tả một vài đặc trưng của đồ thị

e/ sau bao nhiêu lần phân chia thì tạo ra hơn 1 triệu tế bào?

f/ nếu có khoảng 1 triwwuj tế bào sau khi phân chia thì sau bao nhiêu lần phân chia để có khoảng 500 triệu tế bào?

2. 
   có phải luôn bằng , thử vẽ đồ thị và cho những giá trị nguyên m và n khác nhau cũng như sực kết hợp khác của số chẳn và lẻ. kiểm tra để thấy rằng biểu thị phương trình bằng việc kiểm tra các đồ thị và xem bảng giá trị cho giá trị dương và âm của x. quan sát khi đưa ra giá trijkhacs nhau và khi đưa ra giá trị không tồn tại. đoán xem lý do cho việc xảy ra các giá trị khác nhau hay không có giá trị.
   

297

3. 
   Bạn phải học cách sử dụng dạng điểm-tỉ số để tìm một đường cong hàm mũ để làm cho khớp 2 điểm dữ liệu, bạn có thể sự dụng phương trình mũ dạng chung và kiến thức của bạn để giải hệ phương trình để tìm đường cong hàm mũ thích hợp. ví dụ, bạn có thể sử dụng dạng chung để viết 2 phương trình cho đường cong hàm mũ đi qua (4,40) và (7,4.7):
   

Hằng số nào sẽ dễ dàng hơn để giải mỗi phương trình, a hay b? giải mỗi phương trình với hằng số mà bạn dã chọn , sử dụng thay thế và các tính chất bạ đã dược học trong phần này khi bạn sử dụng dạng điểm-tỉ số, và giải lại đó mà bằng phương pháp mới. bạn nghĩ phương pháp này dễ hơn hay khó hơn để sử dụng dạng điểm-tỉ số? có trường hợp mà trong đó một phương pháp có thể phù hợp cho những cái khác?

4. 
   Khi bạn đã trở nên quen thuộc với quy tắc này, bạn có thể khám phá ra cách khác ngắn hơn. Ví dụ ở đây là một cách khác cho phép nhân 5 .7:
   

Xếp 5 trên tử và 10 ở dưới mẫu, tìm số trên tử là mà 7, đáp án cần tìm là 3.5, bạn phải nhân nó với 10 để tìm đáp án đúng, đó là 35.

Tại sao làm ngắn hơn?

Đưa ra bài thuyết trình về cách làm phù hợp vớí dường cong hàm mũ cho dữ liệu hoặc nghiên cứu một trong các hoạt động khác. Chuẩn bị một áp phích hỗ trự trực quan để gải thích chue đề của bạn, làm việc theo nhóm,hoặc đưa ra bài thuyết trình riêng của bạn

Xem xét tập ghi chép của bạn để đảm bảo nó đã hoàn chỉnh và

tổ chức tốt. Hãy chắc chắn rằng ghi chú của bạn bao gồm tất cả các thuộc tính của số mũ và logarit, bao gồm cả ý nghĩa của số mũ âm và phân số. viết một trang tóm tắt chương dựa trên ghi chú của bạn.

298
ĐÁNH GIÁ

So sánh giữa chương 5 của sách Discovering Advanced Algebra và các sách giáo khoa môn toán trong nước ( đại số lớp 6,đại số lớp 7,giải tích lớp 12) , nhóm chúng tôi thấy rằng chúng có những đặc điểm giống và khác nhau:

1. Giống nhau: Nội dung kiến thức về mũ, lũy thừa, logarit, hàm ngược giữa các sách đều giống nhau

2. Khác nhau: Đối với sách Discovering Advanced Algebra , tác giả đặt vấn đề bằng cách đưa ra các tình huống thực tế trước khi đi vào nội dung mỗi bài.

Trong mỗi bài, sau phần lý thuyết, tác giả đưa ra các ứng dụng thực tế mà bài học đề cập và các ví dụ áp dụng. Với cách trình bày như thế này,nhóm chúng tôi nghĩ rằng nó sẽ kích thích người học tìm tòi kiến thức, nâng cao ý thức tự học, qua việc đưa ra các ứng dụng thực tế sẽ giúp cho người học hiểu sâu,rộng về bài học, gắn lý thuyết với thực tiễn tạo sự tò mò, hứng thú, từ đó giúp cho người học ghi nhớ kiến thức nhanh hơn va lâu hơn.

Cũng chính vì sự công phu trong cách trình bày này mà để giảng dạy một bài học,người dạy pải mất khá nhiều thời gian.Đây chính là nhược điểm của sách. Đối với các sách giáo khoa về môn toán trong nước, tác giả chủ yếu đi thẳng vào nội dung bài học, sau lý thuyết cũng có bài tập nhưng ít có ví dụ thực tế ứng dụng mà chủ yếu là các câu hỏi để học sinh áp dụng kiến thức vừa mới học.

Để giảng dạy bài học theo cách trình bày này, người dạy sẽ đỡ mất thời gian hơn , kiến thức của học sinh sẽ không vững chắc, khả năng lĩnh hội kiến thức của người học không nhanh như giảng dạy theo cáh trình bày ở sách Discovering advanced algebra.
Mỗi sách đều có ưu và nhươc điểm riêng của mình, vì vậy người dạy cần phải biết cách kết hợp cách trình bày của hai sách để nâng cao hiệu quả dạy của giáo viên và học của học sinh.

Каталог: pub4 -> sourceforge
sourceforge -> Đề tài: Sử dụng phần mềm cabri geometry 3D để giải các bài toán về mối quan hệ giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng
sourceforge -> Ministry of education and training fpt university