Hệ quả 1.3.1. Nếu với là số nguyên tố , nguyên dương thì .
Hệ quả 1.3.2. Với mọi cặp số nguyên và với mọi số tự nhiên đều có:
Một số dấu hiệu chia hết
Ta đặt
Dấu hiệu chia hết cho
* ,
Ví dụ : chia hết cho 4 vì hai chữ số tận cùng là .
chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng là .
*
Ví dụ: chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng là .
chia hết cho 125 vì ba chữ số tận cùng là .
Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
Ví dụ: chia hết cho 3 và 9 vì có tổng các chữ số chia hết cho 3 và 9.
1.4. Một số định lý
Định lí 1.4.1. Nếu các số chia hết cho m thì chia hết cho m.
Ví dụ : Cho thì
Định lí 1.4.2. Với mọi cặp số nguyên mà và với mọi số nguyên không âm n, tổng chia hết cho .
Ví dụ: Cho thì ta có
Định lí 1.4.3. Với mọi cặp số nguyên mà và với mọi số tự nhiên n, số chia hết cho .
Ví dụ: Cho thì ta có
Định lí 1.4.4.Định lí Fermat nhỏ
Với mọi số nguyên a và số nguyên tố p thì
Chứng minh
1. Nếu thì
2. Nếu p không chia hết cho a thì cũng không chia hết cho p. Gọi lần lượt là số dư khi chia cho p thì chúng sẽ thuộc và đôi một khác nhau ( vì chẳng hạn nếu thì hay , chỉ có thể là mà thì bài toán không đúng). Do đó . Ta có
Nhân vế theo vế ta suy ra
Vì ước chung lớn nhất nên
Như vậy với mọi số nguyên a và số nguyên tố p thì
Nhận xét: Ta có thể chứng minh định lý bằng quy nập. Ngoài ra, định lý còn được phát biểu dưới dạng sau:
“Với mọi số nguyên a,p là số nguyên tố ước chung lớn nhất thì ”.
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |
