TrưỜng đẠi học kiên giang khoa sư phạm và XÃ HỘi nhân văn bài thu hoạch số HỌc phép chia hết trên vành số nguyêN
tải về 1.02 Mb.
|
| Bài 11: Cho 3 số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng chia hết cho 60.
Giải Có và đôi một nguyên tố cùng nhau. +) Nếu đều không chia hết cho 3 thì chia cho 3 đều có số dư là 1. Khi đó , do đó phải có ít nhất một trong 3 số chia hết cho 3. Vậy M chia hết cho 3 (1). +) Nếu đều không chia hết cho 5 thì chia cho 5 đều có số dư là 1 hoặc 4. Khi đó chia 5 dư 0, 2 hoặc 3, do đó . Vậy phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5 hay M chia hết cho 5 (2). +) Nếu là các số lẻ thì chia cho 4 đều dư 1. Khi đó chia 4 dư 2, do đó . Vậy ít nhất 1 trong 2 số b hoặc c phải chẵn. Giả sử b chẵn: Nếu c chẵn thì M chia hết cho 4. Nếu c lẻ, mà nên a lẻ. Khi đó suy ra , từ đây ta được là số chẵn và b chia hết cho 4. Vậy M chia hết cho 4 (3). Từ (1), (2), (3) suy ra M chia hết cho 60. Bài 12: Chứng minh rằng: từ số nguyên bất kì luôn tìm được số mà tổng của chúng chia hết cho , với n là số tự nhiên (*). Giải Với , ta thấy trong 3 số tự nhiên bất kì luôn có ít nhất 2 số có cùng tính chẵn lẻ nên tổng của 2 số này chia hết cho 2. Vậy (*) đúng với . Giả sử (*) đúng với , tức là từ số nguyên bất kì luôn tìm được số mà tổng của chúng chia hết cho . Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với , nghĩa là: từ số nguyên bất kì luôn tìm được số mà tổng của chúng chia hết . Thật vậy, ta có Theo giả thiết quy nạp, từ số nguyên bất kì luôn tìm được số mà tổng của chúng chia hết cho , gọi tổng đó là . Trong số khác với số ở trên cũng có số có tổng chia hết cho , gọi tổng đó là Như vậy, ta có số có tổng . Còn lại số. Theo giả thiết quy nạp thì trong số này cũng có số có tổng chia hết cho , gọi tổng này là . Do đó, ta có chia hết cho . Mà trong 3 số nguyên dương có 2 số có tổng chia hết cho 2, giả sử là chia hết cho 2. Khi đó tổng của số là chia hết cho . Chính vì thế (*) đúng với . Vậy, từ số nguyên bất kì luôn tìm được số mà tổng của chúng chia hết cho , với n là số tự nhiên. tải về 1.02 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|