BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012
Đề thi thử lần 3
(Tháng 4 năm 2012)
Môn: Toán; Khối A, A1, B.
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số (1).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 2.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ
x = -1 và cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A, B phân biệt thỏa mãn OB = 2OA.
Câu II (2,0 điểm)
1) Giải phương trình
2) Giải phương trình
Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình:
và
Câu IV (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có B’A = B’C = B’B = 3a, tam giác ABC cân đỉnh A và AB = 3a, BC = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = 1.
Chứng minh rằng
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
-
Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(4;-1), phương trình đường trung tuyến BM là 8x – y – 3 = 0, phương trình đường phân giác trong BD là x – 1 = 0. Tìm tọa độ hai đỉnh B, C.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình . Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất..
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn và
-
Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 và điểm M(3; - 4). Chứng tỏ rằng qua M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C). Giả sử A, B là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó, hãy viết phương trình đường thẳng AB.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1; 2; 4), B(2; -1; 1) và đường thẳng d có phương trình . Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức. Tìm môđun và một acgumen của số phức
---------- HẾT ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………….; Số báo danh:………………..
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN KHỐI AB LẦN 3
NĂM HỌC 2011 - 2012
Câu
|
ì
|
Nội dung
|
Điểm
|
I
(2đ)
|
Cho hàm số (1).
|
|
1
(1đ)
|
1. Khi m = 2, hàm số (1) là
*) TXĐ: R\{1/2}
*) SBT: +)
Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
+) Ta có
+) BBT:
x
|
- 1/2 +
|
y’
|
- || -
|
y
|
1 || +
- 1
|
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; ½), (½; +)
*) Đồ thị: Giao Ox, Oy tại (-1/2 ; 0), (0; - 1)
Đồ thị nhận I(1/2; 1) làm tâm đối xứng.
|
0,25
0,25
0,25
0,25
|
2
(1đ)
|
+) m = 0, y = - 2x – 1, đồ thị HS là một đường thẳng nên không có tiếp tuyến.
|
0,25
0,25
0,25
0,25
|
II
(2đ)
|
1
(1đ)
|
Giải phương trình (x R)
|
Cách 1 : Bình phương hai vế hai lần ta được phương trình:
Cách 2 : Nhẩm nghiệm và nhân chia liên hợp :
+) CM với ĐK (1) thì (2) vô nghiệm.
Cách 3 : Đặt ẩn phụ rồi bình phương:
+) Đặt
+) Thế vào phương trình rồi bình phương như cách 1.
Cách 4 : Đặt ẩn phụ đưa về hệ :
+) Đặt
+) Giải hệ đối xứng được nghiệm.
|
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
|
2
(1đ)
|
Giải phương trình
|
+) ĐK :
+)
+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là : .
|
0,25
0,25
0,25
0,25
|
III
(2đ)
|
Tính diện tích hình phẳng, giới hạn bởi hai đường cong có phương trình:
và
|
+) Tọa độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ:
+) Gọi S là diện tích hình phẳng cần tính, ta có:
|
0,25
0,75
|
IV
(1đ)
|
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có B’A = B’C = B’B = 3a, tam giác ABC cân đỉnh A và AB = 3a, BC = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC theo a.
|
|
*) Tính thể tích lăng trụ:
+) Gọi H là hcvg của B’ trên (ABC), do B’A = B’C = B’B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân đỉnh A nên H thuộc trung tuyến (và cũng là đường cao) AD của ∆ABC và ta có HA = R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
*) Tính khoảng cách giữa AA’ và BC:
+) AA’//BB’ nên AA’//(BCB’), do đó d(AA’;BC) = d(A; (BCB’)).
+) Do AB = AC = B’B = B’C nên ∆ABC = ∆B’BC,
do đó d(A; (BCB’)) = d(B’;(ABC)) = B’H = .
|
0,25
0,25
0,25
0,25
|
V
(1đ)
|
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = 1.
Chứng minh rằng
|
+) Ta có
Đặt .
+) Nếu ta có
Xét HS
+) Nếu ta giả sử
+) Dấu đẳng thức xảy ra
|
0,25
0,25
0,25
0,25
| -
Phần chương trình chuẩn:
|
VI.a
(2đ)
| -
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(4;-1), phương trình đường trung tuyến BM là 8x – y – 3 = 0, phương trình đường phân giác trong BD là
x – 1 = 0. Tìm tọa độ hai đỉnh B, C.
|
|
+) B là giao của BM và BD nên B(1; 5).
+) Gọi A’ là điểm đối xứng A qua BD thì A’ thuộc BC. Gọi I là giao của AA’ và BD, ta có I(1; a).
+) BC qua B và A’ có pt: 2x – y + 3 = 0
+) Vì C thuộc BC nên C(c; 2c + 3), suy ra trung điểm M của AC là
|
0,25
0,25
0,25
0,25
| -
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình . Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
|
Cách 1: Phương pháp hình học:
+) Ta có
+) Gọi H là hcvg của A trên d, A’ là điểm đối xứng với A qua d.
Ta có: H(2 + 3t; -2t; 4 + 2t)
Cách 2: Phương pháp giải tích:
|
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
|
VII.a
(1đ)
|
Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn
và
|
+) Gọi z = x + i.y, với x, y ∈ R. Ta có z – 3 = (x – 3) + i.y ; ;
z – 1 + 2i = (x – 1) + (y + 2)i.
+) Từ giả thiết ta có hệ:
+) KL: Tập các điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB, với
|
0,25
0,25
0,25
0,25
|
-
Phần chương trình nâng cao:
Câu VI.b
(2đ)
| -
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 và điểm M(3; - 4). Chứng tỏ rằng qua M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C). Giả sử A, B là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó, hãy viết phương trình đường thẳng AB.
|
+) Đường tròn (C) có dạng chính tắc: (x – 1)2 + (y + 2)2 = 22, có tâm I(1; - 2), BK R = 2.
Do nên từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C).
Cách 1: Phương pháp giả thiết tạm.
+) Gọi A(x1; y1) thì tiếp tuyến tại A có 1 VTPT là
Tương tự với B(x2; y2) thì ta cũng có: x2 – y2 – 5 = 0
+) Vậy A, B có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng: x – y – 5 = 0, và đó cũng là phương trình đường thẳng AB.
Cách 2: Tìm tọa độ tiếp điểm:
+) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) khi tiếp tuyến đi qua M(3; - 4) ta được hai tiếp tuyến là: x – 3 = 0 và y + 4 = 0.
+) Tìm tọa độ hai tiếp điểm là A(1; - 4) và B(3; - 2).
+) Viết được phương trình AB là: x – y – 5 = 0.
|
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
|
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1; 2; 4), B(2; -1; 1) và đường thẳng d có phương trình . Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
|
Cách 1: PP hình học:
+)
+) Mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với d nhận làm 1 VTPT. Phương trình của (P) là:
x + 2y – z + 1 = 0.
+) Gọi I là giao của (P) và d, ta tìm được tọa độ điểm I(1; - 3; - 4)
Ta có
+) Vậy M(1; - 3; - 4).
Cách 2. PP giải tích:
|
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
|
Câu VIIb
(1đ)
|
Cho số phức . Tìm môđun và một acgumen của số phức
|
+) Dạng lượng giác của z là
+) Áp dụng công thức Moa-vrơ ta có:
|
0,25
0,25
0,25
0,25
|
Mọi cách giải khác có lập luận chặt chẽ và kết quả đúng đều cho điểm tối đa.
THPT THANH OAI B – HÀ NỘI
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |