+ (2m-1)x + m 1= 0 (1) Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có



tải về 236.43 Kb.
trang1/3
Chuyển đổi dữ liệu23.07.2016
Kích236.43 Kb.
  1   2   3
Bµi tËp ®Þnh lý vi-Ðt

Bµi 1: Phương trình: 2x2 + (2m-1)x + m - 1= 0 (1)

1. Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có.

2x2 + 3x + 1 = 0

Có ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)

=> Phương trình (1) có nghiệm x1 = -1 ; x2 = - 1/2

2. Phương trình (1) có = (2m -1)2 - 8(m -1)

= 4m2 - 12m + 9 = (2m - 3)2 0 với mọi m.

=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi giá trị của m.

+ Theo hệ thức Vi ét ta có:

+ Theo điều kiện đề bài: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 1



<=> 4(x1 + x2)2 - 6 x1x2 = 1

<=> ( 1 - 2m)2 - 3m + 3 = 1

<=> 4m2 - 7m + 3 = 0

+ Có a + b + c = 0 => m1 = 1; m2 = 3/4

Vậy với m = 1 hoặc m = 3/4 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn:

4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 1


Bµi 2: . Cho phương trình x2 – 2mx + m 2 – m + 3 =0

Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m2 - m + 3 )

Δ’ = ...= m2 - 1. ( m2 - m + 3 ) = m2 - m2 + m - 3 = m – 3 ,do pt có hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham số ) Δ’ ≥ 0 m ≥ 3 .Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

x1 + x2 = 2m

x1 . x2 = m2 - m + 3

x12 + x22 = ( x1 + x2) 2 – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + 3 )=2(m2 + m - 3 )

=2(m2 + 2m + - - ) =2[(m +)2 - ]=2(m +)2 -

Do điều kiện m ≥ 3 m + ≥ 3+=

(m +)2 2(m +)2 2(m +)2 - - = 18

Vậy GTNN của x12 + x22 là 18 khi m = 3
Bài 3.

a)Giảiphương trình (1) khi m = -1:

Thay m = vào phương trình (1) ta được phương trình:









b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm

bằng bình phương của nghiệm còn lại.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆’ = m2 - (m - 1)3 > 0 (*)

Giả sử phương trình có hai nghiệm là u; u2 thì theo định lí Vi-ét ta có:

(**)

PT (thỏa mãn đk (*) )

Vậy m = 0 hoặc m = 3 là hai giá trị cần tìm.

Lưu ý: Có thể giả sử phương trình có hai nghiệm, tìm m rồi thế vào PT(1) tìm

hai nghiệm của phương trình , nếu hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì trả lời.

Ở trường hợp trên khi m = 0 PT (1) có hai nghiệm thỏa mãn

, m = 3 PT (1) có hai nghiệm thỏa mãn .

Bµi 4 .

Cho phương trình bậc hai: x2-2(m-1)x+2m-3=0. (1)



  1. Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.

x2 - 2(m-1)x + 2m - 3=0.

Có: ’ =

= m2-2m+1-2m+3

= m2-4m+4 = (m-2)2 0 với mọi m.



  • Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

  1. Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a.c < 0

<=> 2m-3 < 0

<=> m < .

Vậy : với m < thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.



Bµi 5.: Cho ph­¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0

X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0)



Gi¶i: Ph­¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

  • XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1

  • XÐt 2m-10=> m 1/2 khi ®ã ta cã

= m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m

ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x==

pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<<0



=>=>m<0

VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0



Bµi 6: Cho ph­¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)

a.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m.

b.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n =50

gi¶i: §Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:

b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:





Bµi 7: Cho ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt x1, x2Chøng minh:

a,Ph­¬ng tr×nh ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t1 vµ t2.

b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4

gi¶i: §Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:

b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:





Bµi 8: a. V× x1 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 nªn ax12 + bx1 + c =0. .

V× x1> 0 => c. Chøng tá lµ mét nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh: ct2 + bt + a = 0; t1 = V× x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:

ax2 + bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0

v× x2> 0 nªn c. ®iÒu nµy chøng tá lµ mét nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh ct2 + bt + a = 0 ; t2 =

VËy nÕu ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiÑm d­¬ng ph©n biÖt x1; x2 th× ph­¬ng tr×nh : ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t1 ; t2 . t1 = ; t2 =

b. Do x1; x1; t1; t2 ®Òu lµ nh÷ng nghiÖm d­¬ng nªn

t1+ x1 = + x1 2 t2 + x2 = + x2 2

Do ®ã x1 + x2 + t1 + t2 4



Bµi 9: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 -2(m - 1)x + m2 - 3 = 0 ( 1 ) ; m lµ tham sè.

a/. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm.

b/. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng ba lÇn nghiÖm kia.

Gi¶i :a/. Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi 0.

(m - 1)2 -m2 -3 0

4 - 2m 0

m 2.

b/. Víi m 2 th× (1) cã 2 nghiÖm.

Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a th× nghiÖm kia lµ 3a . Theo Viet ,ta cã:



a= 3()2 = m2 – 3

m2 + 6m – 15 = 0

m = –32 ( thâa m·n ®iÒu kiÖn).

Bài10: Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11



Gi¶i:

§Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th×  > 0



<=> (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0

Tõ ®ã suy ra m  1,5 (1)

MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã:

Gi¶i ph­¬ng tr×nh

ta ®­îc m = - 2 vµ m = 4,125 (2)

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt t



Bài 11: Cho pt

a. Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiÖm víi .

b. Gäi lµ hai nghiÖm cña pt. T×m GTLN, GTNN cña bt.



Gi¶i . : cm

B (2 ®) ¸p dông hÖ thøc Viet ta cã:



(1) T×m ®k ®Î pt (1) cã nghiÖm theo Èn.



Bài 12: Cho ph­¬ng tr×nh x2- mx + m2 + 4m - 1 = 0 (1)

a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -1

b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tho· m·n

gi¶i : a) m = -1 ph­¬ng tr×nh (1)

b) §Ó ph­¬ng tr×nh 1 cã 2 nghiÖm th× (*)

+ §Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kh¸c 0 (*)

+



KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*)vµ (**) ta ®­îc m = 0 vµ



Bµi 13 : T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn m ®Ó ph­¬ng tr×nh Èn x sau:

x2 - m2x + m + 1 = 0

cã nghiÖm nguyªn.

gi¶i:

Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn khi  = m4 - 4m - 4 lµ sè chÝnh ph­¬ng

Ta l¹i cã: m = 0; 1 th×  < 0 lo¹i

m = 2 th×  = 4 = 22 nhËn

m  3 th× 2m(m - 2) > 5  2m2 - 4m - 5 > 0

 - (2m2 - 2m - 5) <  <  + 4m + 4

 m4 - 2m + 1 <  < m4

 (m2 - 1)2 <  < (m2)2

 kh«ng chÝnh ph­¬ng

VËy m = 2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.



Bµi 14: X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh

x2-(m+5)x-m+6 =0

Cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 tho· m·n mét trong 2 ®iÒu kiÖn sau:

a/ NghiÖm nµy lín h¬n nghiÖm kia mét ®¬n vÞ.

b/ 2x1+3x2=13

ta cã

§Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt sao cho khi m vµ m
Gi¶ sö x2>x1 ta cã HPT x2x1=1

X1+x2=m+5

X1x2=m+6

Gi¶I HPT ta ®­îc m=0 vµ m=-14 TM§K

Theo gi¶ thiÕt ta cã 2x1+3x2 =13

X1+x2 =m+5

X1x2=-m+6

Gi¶I HPT ta ®­îc m=0 vµ m=1 tháa m·n §K



Bµi 15: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)

a. Chøng minh ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.

b. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng phô thuéc vµo m.

c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x21 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1))



giai : a. = m2 –3m + 4 = (m - )2 + >0 m.

VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

b. Theo ViÐt: =>

<=> x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 kh«ng phô thuéc vµo m


  1. P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – 2 (m-3)

= (2m - )2 +

VËyPmin = víi m =

Bài 16 :

Cho phương trình ( m là tham số) (1)

1)Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ?

2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất ?

Giải :


1, Để (1) có 2 nghiệm phân biệt khi

(2m+1)2-4(m2+) >0

2, Với m> thì (1) có hai nghiệm phân biệt theo định lý vi ét ta có

=2m+1

X1.x2= m2+ khi đó

M = ( x­­­1-1)(x2-1`) =x1x2-(x1+x2) +1 = m2+- 2m -1 +1

= (m-1)2- Đẳng thức xảy ra khi m=1 ( thỏa mãn điều kiện m>

Vậy GTNN của M là - khi m=1

Bai17:. Cho ph­¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0

X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0)

Ph­¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0


  • XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1

  • XÐt 2m-10=> m 1/2 khi ®ã ta cã

= m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m

ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x==

pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<<0



=>=>m<0

VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0





  1   2   3


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương