+ (2m-1)x + m 1= 0 (1) Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có

1. Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có.

2x² + 3x + 1 = 0

Có ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)

=> Phương trình (1) có nghiệm x₁ = -1 ; x₂ = - 1/2

2. Phương trình (1) có = (2m -1)² - 8(m -1)

= 4m² - 12m + 9 = (2m - 3)² 0 với mọi m.

=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi giá trị của m.

+ Theo hệ thức Vi ét ta có:

+ Theo điều kiện đề bài: 4x₁² + 4x₂² + 2x₁x₂ = 1

+ Có a + b + c = 0 => m₁ = 1; m₂ = 3/4

Vậy với m = 1 hoặc m = 3/4 thì phương trình (1) có hai nghiệm x₁; x₂ thoả mãn:

4x₁² + 4x₂² + 2x₁x₂ = 1

Tìm biểu thức x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m² - m + 3 )

Δ’ = ...= m² - 1. ( m² - m + 3 ) = m² - m² + m - 3 = m – 3 ,do pt có hai nghiệm x₁ ; x ₂ (với m là tham số ) Δ’ ≥ 0 m ≥ 3 .Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = 2m

x₁ . x₂ = m² - m + 3

x₁² + x₂² = ( x₁ + x₂) ² – 2x₁x₂ = (2m)² - 2(m² - m + 3 )=2(m² + m - 3 )

=2(m² + 2m + - - ) =2[(m +)² - ]=2(m +)² -

Do điều kiện m ≥ 3 m + ≥ 3+=

(m +)² ≥ 2(m +)² ≥ 2(m +)² - ≥ - = 18

Vậy GTNN của x₁² + x₂² là 18 khi m = 3
Bài 3.

a)Giảiphương trình (1) khi m = -1:

Thay m = vào phương trình (1) ta được phương trình:

b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm

bằng bình phương của nghiệm còn lại.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆’ = m² - (m - 1)³ > 0 (*)

Giả sử phương trình có hai nghiệm là u; u² thì theo định lí Vi-ét ta có:

(**)

PT (thỏa mãn đk (*) )

Vậy m = 0 hoặc m = 3 là hai giá trị cần tìm.

Lưu ý: Có thể giả sử phương trình có hai nghiệm, tìm m rồi thế vào PT(1) tìm

hai nghiệm của phương trình , nếu hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì trả lời.

Ở trường hợp trên khi m = 0 PT (1) có hai nghiệm thỏa mãn

, m = 3 PT (1) có hai nghiệm thỏa mãn .

Bµi 4 .

Cho phương trình bậc hai: x²-2(m-1)x+2m-3=0. (1)

1. 
   Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
   

Có: ’ =

= m²-2m+1-2m+3

= m²-4m+4 = (m-2)² 0 với mọi m.

• 
  Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
  

2. 
   Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a.c < 0
   

Vậy : với m < thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0)

• 
  XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1
  
• 
  XÐt 2m-10=> m 1/2 khi ®ã ta cã
  

ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x==

pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<<0

VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0

a.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m.

b.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x₁; x₂ tho¶ m·n =50

gi¶i: §Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:

b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

a,Ph­¬ng tr×nh ct² + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t₁ vµ t₂.

b,Chøng minh: x₁ + x₂ + t₁ + t₂ 4

gi¶i: §Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:

b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

V× x₁> 0 => c. Chøng tá lµ mét nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh: ct² + bt + a = 0; t₁ = V× x₂ lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:

ax² + bx + c = 0 => ax₂² + bx₂ + c =0

v× x₂> 0 nªn c. ®iÒu nµy chøng tá lµ mét nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh ct² + bt + a = 0 ; t₂ =

VËy nÕu ph­¬ng tr×nh: ax² + bx + c =0 cã hai nghiÑm d­¬ng ph©n biÖt x₁; x₂ th× ph­¬ng tr×nh : ct² + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t₁ ; t₂ . t₁ = ; t₂ =

b. Do x₁; x₁; t₁; t₂ ®Òu lµ nh÷ng nghiÖm d­¬ng nªn

t₁+ x₁ = + x₁ 2 t₂ + x₂ = + x₂ 2

Do ®ã x₁ + x₂ + t₁ + t₂ 4

a/. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm.

b/. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng ba lÇn nghiÖm kia.

Gi¶i :a/. Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ’ 0.

(m - 1)² -m² -3 0

4 - 2m 0

m 2.

b/. Víi m 2 th× (1) cã 2 nghiÖm.

Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a th× nghiÖm kia lµ 3a . Theo Viet ,ta cã:



a= 3()² = m² – 3

m² + 6m – 15 = 0

m = –32 ( thâa m·n ®iÒu kiÖn).

Bài10: Cho ph­¬ng tr×nh 2x² + (2m - 1)x + m - 1 = 0

Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x₁; x₂ tháa m·n: 3x₁ - 4x₂ = 11

§Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x₁ ; x₂ th×  > 0

Tõ ®ã suy ra m  1,5 (1)

MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã:

Gi¶i ph­¬ng tr×nh

ta ®­îc m = - 2 vµ m = 4,125 (2)

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt t

a. Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiÖm víi .

b. Gäi lµ hai nghiÖm cña pt. T×m GTLN, GTNN cña bt.



Gi¶i . : cm

B (2 ®) ¸p dông hÖ thøc Viet ta cã:

a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -1

b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tho· m·n

gi¶i : a) m = -1 ph­¬ng tr×nh (1)

b) §Ó ph­¬ng tr×nh 1 cã 2 nghiÖm th× ⁽*⁾

+ §Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kh¸c 0 ⁽*⁾

+

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*)vµ (**) ta ®­îc m = 0 vµ

x² - m²x + m + 1 = 0

cã nghiÖm nguyªn.

gi¶i:

Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn khi  = m⁴ - 4m - 4 lµ sè chÝnh ph­¬ng

Ta l¹i cã: m = 0; 1 th×  < 0 lo¹i

m = 2 th×  = 4 = 2² nhËn

m  3 th× 2m(m - 2) > 5  2m² - 4m - 5 > 0

 - (2m² - 2m - 5) <  <  + 4m + 4

 m⁴ - 2m + 1 <  < m⁴

 (m² - 1)² <  < (m²)²

 kh«ng chÝnh ph­¬ng

VËy m = 2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.

x²-(m+5)x-m+6 =0

Cã 2 nghiÖm x₁ vµ x₂ tho· m·n mét trong 2 ®iÒu kiÖn sau:

a/ NghiÖm nµy lín h¬n nghiÖm kia mét ®¬n vÞ.

b/ 2x₁+3x₂=13

ta cã

§Ó PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt sao cho khi m vµ m
Gi¶ sö x₂>x₁ ta cã HPT x₂x₁=1

X₁+x₂=m+5

X₁x₂=m+6

Gi¶I HPT ta ®­îc m=0 vµ m=-14 TM§K

Theo gi¶ thiÕt ta cã 2x₁+3x₂ =13

X₁+x₂ =m+5

X₁x₂=-m+6

Gi¶I HPT ta ®­îc m=0 vµ m=1 tháa m·n §K

a. Chøng minh ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.

b. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng phô thuéc vµo m.

c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x²₁ + x²₂ (víi x₁, x₂ lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1))

VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

b. Theo ViÐt: =>

<=> x₁+ x₂ – 2x₁x₂ – 4 = 0 kh«ng phô thuéc vµo m

1. 
   P = x₁² + x₁² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 4(m - 1)² – 2 (m-3)
   

Giải :

(2m+1)²-4(m²+) >0

2, Với m> thì (1) có hai nghiệm phân biệt theo định lý vi ét ta có

=2m+1

X₁.x²= m²+ khi đó

M = ( x­­­₁-1)(x₂-1`) =x₁x₂-(x₁+x₂) +1 = m²+- 2m -1 +1

= (m-1)²- Đẳng thức xảy ra khi m=1 ( thỏa mãn điều kiện m>

Vậy GTNN của M là - khi m=1

Bai17:. Cho ph­¬ng tr×nh (2m-1)x²-2mx+1=0

X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0)

Ph­¬ng tr×nh: ( 2m-1)x²-2mx+1=0

• 
  XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1
  
• 
  XÐt 2m-10=> m 1/2 khi ®ã ta cã
  

ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x==

pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<<0

VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0