Bài 18:
Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2 – 2(m + 1)x + m2 – 1 = 0
Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện :
x1 + x2 + x1.x2 = 1
Giải : a = 1 , b’ = -(m+1) ; c = m2 – 1 .
’ = b’2 – a.c = (m+1)2 – 1. ( m2 – 1)
= m2 + 2m + 1 – m2 + 1 = 2m + 2.
Để pt có hai nghiệm x1 , x2 thì ’ 0
2m + 2 0
Theo hệ thức Vi ét ta có :
Theo đề bài ta có: x1 + x2 + x1.x2 = 1.
2m + 2 + m2 – 1 = 1
m2 + 2m = 0.
m(m + 2 ) = 0.
m = 0 ( nhận) ; m = -2 ( loại)
Vậy m = 0.
Bài 19:
Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2 – 2(m + 1)x + m2 – 1 = 0
Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện :
x1 + x2 + x1.x2 = 1
Giải: a = 1 , b’ = -(m+1) ; c = m2 – 1 .
’ = b’2 – a.c = (m+1)2 – 1. ( m2 – 1)
= m2 + 2m + 1 – m2 + 1 = 2m + 2.
Để pt có hai nghiệm x1 , x2 thì ’ 0
2m + 2 0
Theo hệ thức Vi ét ta có :
Theo đề bài ta có: x1 + x2 + x1.x2 = 1.
2m + 2 + m2 – 1 = 1
m2 + 2m = 0.
m(m + 2 ) = 0.
m = 0 ( nhận) ; m = -2 ( loại)
Bài 20 :
Cho phương trình (x là ẩn số)
-
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
-
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = .
Giải:
a)
Suy ra phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Ta có x1 + x2 = 3m + 1 và x1x2 = 2m2 + m – 1
A=
Do đó giá trị lớn nhất của A là : . Đạt được khi m =
Bài 21 : . Cho ph¬ng tr×nh bËc hai sau, víi tham sè m :
x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)
1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 2.
2. T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó x = -2 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1).
Giải :.
a) Khi m = 2 thì phương trình (1) trở thành: x2 – 3x + 2 = 0 (*)
Vì phương trình (*) là một phương trình bậc hai có: a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0
Nên phương trình (*) có hai nghiệm là x1 = 1 v à x2 = 2.
Vậy khi m = 2 th ì phương trình (1) có hai nghiệm l à x1 = 1 v à x2 = 2.
b) Giả sử x = - 2 là một nghiệm của phương trình (1). Thay x = - 2 vào phương trình (1) ta được:
./
Vậy với m = -1 thì phương trình(1) có một nghiệm là x = -2.
Bài 22:
Cho phương trình : x-2(m+1)x +2m +3
Giải : phương trình với m=-3
Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn (x-x)=4
Với m=-3 phương trình trở thành x-2(-3+1) +2(-3)+3=0
Giải ra ta có x=-2+ x= -2-
B, ( x- x)= 4
=(m+1)- (2m+3) = m-2 để PT có hai nghiệm thì
Đen ta lơn hơn hoặc bằng không
Theo định lý vi ét x+x= 2( m+1)
x.= 2m +3
vì PT có hai nghiệm thỏa mãn (x-x)=4
x-2x.x + x=4 (x+x)- 4x.x=44(m+1)- 4(2m+3)=4
Bµi 23 :
Cho ph¬ng tr×nh: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0
Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
-
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó : x12 + x22 = 2x1x2(2x1x2 – 1)
-
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc S = x1 + x2
Gîi ý :
-
dÔ cã ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
Theo vi et : thay vµo , t×m ®îc m
-
S =.
Sau ®ã xÐt hiÖu S – () vµ hiÖu S – () ta t×m ®îc max, min.
HoÆc dïng ph¬ng ph¸p ®enta
Bµi 24 : Cho ph¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
a.T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m.
b.T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n =50
giải: §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:
b. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
Bµi 25: Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x1, x2Chøng minh:
a,Ph¬ng tr×nh ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t1 vµ t2.
b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4
giải : a. V× x1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 nªn ax12 + bx1 + c =0. .
V× x1> 0 => c. Chøng tá lµ mét nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh: ct2 + bt + a = 0; t1 = V× x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
ax2 + bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0
v× x2> 0 nªn c. ®iÒu nµy chøng tá lµ mét nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh ct2 + bt + a = 0 ; t2 =
VËy nÕu ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiÑm d¬ng ph©n biÖt x1; x2 th× ph¬ng tr×nh : ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t1 ; t2 . t1 = ; t2 =
b. Do x1; x1; t1; t2 ®Òu lµ nh÷ng nghiÖm d¬ng nªn
t1+ x1 = + x1 2 t2 + x2 = + x2 2
Do ®ã x1 + x2 + t1 + t2 4
m = 0 ( nhận) ; m = -2 ( loại)
Vậy m = 0.
Bài 26: x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Cách 1: Ta có: ' = m2 + 1 > 0 với mọi m nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.
Cách 2: Ta thấy với mọi m, a và c trái dấu nhau nên phương trình luôn có hai phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để .
Theo a) ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó ta có S = và P = x1x2 = –1.
Do đó S2 – 3P = 7 (2m)2 + 3 = 7 m2 = 1 m = 1.
Vậy m thoả yêu cầu bài toán m = 1.
Bài 27:
a) Cho phương trình x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2. Tính giá trị của biểu thức
S = + .
Giải:
a) Tính được x1 + x2 = 2 và x1.x2 = – 1.
Biến đổi:
S = = = – 6.
Bài 28:
Cho phương trình ẩn x: x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0
a) Giải phương trình với m = .
b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Giải:
a) khi m = ,phương trình : x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0 trở thành:
x4 - 2x = 0 x2 (x2 - 2) = 0
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là :
x1 = 0 , x2 = x3 = -
b) Đặt t = x2 , điều kiện t 0 .Phương trình đã cho trở thành:
t2 – 2mt + m2 – 3 = 0 (1)
Phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
*)Phương trình (1) nhận t = 0 là nghiệm m2 – 3 = 0 m =
+)Khi m = , phương trình (1) trở thành: t2 - t = 0
(thoả mãn)
v ậy m = ,là giá trị cần tìm
+)Khi m = - , phương trình (1) trở thành : t2 + 2t = 0
(không thích hợp)
Vậy m = - không thoả mãn loaị
Tãm l¹i ph¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm ph©n biÖt m =
Vậy hệ có nghiệm là :
Bài 29:
Tìm giá trị của a để phương trình :
(a2 – a – 3)x2 + (a + 2)x – 3a2 = 0
nhận x = 2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của phương trình?
Giải: Phương trình đã cho nhận x1 = 2 là nghiệm
4(a2 – a – 3) + 2(a + 2) – 3a2 = 0
a2 – 2a – 8 = 0
Khi đó nghiệm còn lại của phương trình là:
x2 =
+) Nếu a = -2 , nghiệm còn lại của phương trình là
x2 = -2
+) Nếu a = 4 , nghiệm còn lại của phương trình là
x2 = -
Bµi 30:
Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 - = 0 (1)
-
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau
-
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3
Giải:
Câu a)
Giaỉ: để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn
=> x1 = x2 hoặc x1 = - x2
a) Nếu x1 = x2 => = 0 => = = 0 (vô lý)
b) Nếu x1 = - x2 => x1 + x2 = 0 => 2m = 0 => m = 0
=> phương trình đã cho trở thành : x2 - = 0 x =
=> phương trình có 2 nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau
=> m = 0 là giá trị cần tìm
Câu b)
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 vaø x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3
=> x1 > 0 ; x2 > 0 và x12 + x22 = 9
Bài 31:
Cho phương trình: (x là ẩn số)
a) Giải phương trình khi a=1
b) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm . Khi đó tồn tại hay không giá trị lớn nhất của:
Giải :
Phương trình đã cho có thể biến đổi thành:
a) Với a=1 phương trình đã cho trở thành:
b) Mỗi phương trình , có nhiều nhất là 2 nghiệm. Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì mỗi phương trình như trên phải có đúng 2 nghiệm và các nghiệm đó khác 0. Như vậy, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm, điều kiện cần và đủ là:
*Với phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
Như thế:
=
Tuy nhiên và không đạt được giá trị nên S không có giá trị lớn nhất!
Bài 32: Cho phương tr×nh x- 2 (k -1 )x + 2k – 5 = 0 ( Èn x )
a. Chứng minh rằng PT cã nghiÖm víi mäi k .
b. T×m k ®Ó A = x -2x- 2xcã gi¸ trÞ b»ng 6
a. TÝnh = k-4k + 5 = ( k -2 ) + 1 > 0 víi mäi k
b . Theo hÖ thøc Viet cã x + x=2 ( k-1)= 2k -2
x x = 2k -5
A= (x+ x)- 2xx- 2 (x+ x)
= ( 2k – 2 )- 2( 2k -5) – 2( 2k – 2)
= 4k-16k + 18
KÕt luËn: §iÓm cÇn t×m: M(1; 0)
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |