Chương 3 LẤy mẫu và LƯỢng tử

Quá trình biến đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu số theo trình tự: lấy mẫu, lượng tử hóa và mã hóa được minh họa ở hình 3.1. Tín hiệu tương tự x(t) liên tục cả về thời gian và độ lớn. Kết quả của quá trình lấy mẫu là các tín hiệu rời rạc về thời gian nhưng liên tục về biên độ được gọi là tín hiệu số liệu mẫu. Tín hiệu số được tạo ra từ tín hiệu dữ liệu mẫu bằng cách mã hóa các giá trị mẫu thành tập các giá trị hữu hạn. Ta sẽ thấy, các lỗi sẽ xảy ra tại mỗi bước của quá trình này.

Bước đầu tiên trong quá trình tạo tín hiệu số từ tín hiệu liên tục x(t) là lấy mẫu x(t) tại các điểm cách đều theo thời gian để tạo ra các giá trị mẫu . Tham số T_s là chu kỳ lấy mẫu, là nghịch đảo của tần số lấy mẫu f_s.

Mô hình lấy mẫu được minh họa ở hình 3.2. Tín hiệu x(t) được nhân với một xung tuần hoàn p(t) tạo ra tín hiệu mẫu x_s(t). Nói cách khác:

(3.1)

Hàm lấy mẫu p(t) được giả thiết là một xung hẹp nhận giá trị 1 hoặc 0. Theo đó,
x_s(t) = x(t) khi p(t) = 1 và x_S(t) = 0 khi p(t) = 0. Cần đặc biệt lưu ý đến chu kỳ của hàm lấy mẫu p(t) còn dạng sóng của p(t) là tùy chọn. Hàm lấy mẫu được minh họa trong hình 3.2, trực giác, nó thể hiện một cái chuyển mạch tại các thời điểm lấy mẫu.



Hình 3.1: Lấy mẫu, lượng tử, mã hóa



Hình 3.2: Lấy mẫu và hàm lấy mẫu

Vì p(t) là hàm tuần hoàn, nên được biểu diễn bằng chuỗi Fourier:

Trong đó, các hệ số chuỗi Fourier được cho bởi:

Thay (3.2) vào (3.1) ta có:

Để rút ra định lý lấy mẫu và các điều kiện để khôi phục tín hiệu x(t) từ các mẫu x(kT_s), cần phải xác định phổ của x_s(t) và chỉ ra rằng x(t) có thể khôi phục từ x_s(t) với các điều kiện cần thiết. Muốn vậy, cần phải xác định: (i) phổ của tín hiệu mẫu x_s(t); (ii) phổ của tín hiệu thông tin x(t); (iii) phổ của xung lấy mẫu p(t); (iv) các mối quan hệ từ đó tìm được điều kiện lấy mẫu hay định lý lấy mẫu. Theo đó, ta tiến hành như sau:

Chuyển đổi thứ thự lấy tích phân và lấy tổng ta được:

Từ (3.6), ta có biến đổi Fourier của tín hiệu mẫu được viết như sau:

Từ (3.8), thấy rõ quan hệ giữa phổ của tín hiệu mẫu x_s(t) và phổ của tín hiệu tương tự x(t). Theo đó, ảnh hưởng của việc lấy mẫu tín hiệu liên tục là tái sinh phổ của tín hiệu được lấy mẫu xung quanh tần số 0 (f = 0) và tất cả các hài của tần số lấy mẫu (f = nf_s). Phổ được dịch, được đánh trọng số bởi hệ số chuỗi Fourier C_n của xung lấy mẫu p(t) tương ứng.

được coi là lấy mẫu hàm xung kim trong đó các giá trị mẫu được thể hiện bởi các trọng số của các hàm xung kim. Thế (3.9) vào (3.3), nhận được:

Áp dụng tính chất dịch của hàm delta, ta có:

Sử dụng kết quả này vào (3.2) và biến đổi Fourier cho p(t) nhận được:

Lưu ý, có thể tìm được phổ tín hiệu mẫu X_s(f) theo biểu thức sau:

trong đó ký hiệu cho tích chập, tạo X_s(f) theo (3.14) được cho ở hình 3.3 đối với trường hợp tín hiệu giới hạn băng.

Định lý lấy mẫu có thể được triển khai từ việc quan sát hình 3.3. Để các mẫu x(nT_s) chứa toàn bộ thông tin của tín hiệu x(t) (quá trình lấy mẫu không làm mất thông tin) thì lấy mẫu phải được thực hiện sao cho có thể khôi phục x(t) từ các mẫu x(nT_s) mà không có lỗi. Việc tái tạo x(t) từ x(nT_s) được thực hiện bằng cách tách thành phần n = 0 từ X_s(f) bằng cách lọc thông thấp. Để khôi phục tín hiệu x(t) từ x(nT_s) mà không có lỗi, thì vùng phổ của X_s(f) được định vị xung quanh [thành phần trong (3.13)] không chồng lấn lên vùng phổ của X_s(f) được định vị xung quanh f = 0 [thành phần n=0 trong (3.13)], nói cách khác, tất cả các thành phần phổ được dịch trong (3.13) phải không chồng lấn nhau. Vì vậy cần phải đảm bảo điều kiện hay .

Định lý 3.1: Có thể khôi phục tín hiệu băng tần hạn chế từ các mẫu của tín hiệu đó mà không có lỗi nếu tần số lấy mẫu f_s lớn hơn 2f_h, trong đó f_h là tần số lớn nhất trong tín hiệu được lấy mẫu.

Định lý 3.1 thường được gọi là định lý lấy mẫu thông thấp, nó cũng đúng đối với tín hiệu thông dải. Tuy nhiên, khi sử dụng định lý lấy mẫu thông thấp cho tín hiệu thông dải dẫn đến tần số lấy mẫu rất cao. Lấy mẫu tín hiệu thông dải sẽ được đề cập dưới đây.

Nếu thì phần phổ có trung tâm tại sẽ chồng lấn lên phần phổ có trung tâm tại f = 0 dẫn đến hậu quả là gây méo tín hiệu tại đầu ra x(t) của bộ lọc thông thấp như minh họa trong hình 3.4 (giả sử phổ x(t) là thực). Méo dạng này gọi là chồng phổ.



Hình 3.3: Lấy mẫu trong miền tần số



Hình 3.4: Tần số lấy mẫu thấp dẫn đến lỗi chồng phổ