Lấy mẫu tín hiệu ngẫu nhiên thông thấp

Dạng sóng x(t) ở trên được giả thiết là tín hiệu năng lượng hữu hạn tất định. Kết quả của các giả định này là, tồn tại biến đổi Fourier và định lý lấy mẫu dựa vào phổ (biến đổi Fourier) của tín hiệu. Trong hầu hết các ứng dụng, thường phải mô phỏng xử lý các hàm mẫu của một quá trình ngẫu nhiên. Vì vậy, thay vì chọn tần số lấy mẫu dựa vào phổ của tín hiệu tương tự (bằng cách biến đổi Fourier hàm tất định), ta chọn tần số lấy mẫu dựa vào mật độ phổ công suất PSD của tín hiệu ngẫu nhiên.

Trường hợp các tín hiệu ngẫu nhiên ta viết:

(3.15)

Hàm lấy mẫu P(t) khi này được viết là:

(3.16)

Trong đó D là biến ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng (0,T_s) và độc lập với X(t). Lưu ý tính giống nhau giữa (3.15) và (3.1), giữa (3.16) và (3.9). Chỉ có 2 điểm khác biệt cơ bản là: (i) sử dụng các chữ in hoa trong các hàm thời gian X(t), P(t) và X_S(t) để ký hiệu cho các quá trình ngẫu nhiên; (ii) sử dụng biến ngẫu nhiên D trong (3.16) nhằm đảm bảo cho X_s(t) là quá trình ngẫu nhiên dừng. Nếu không có D, thì tín hiệu mẫu là quá trình dừng tuần hoàn (cyclostationary). Tác dụng của D là làm ngẫu nhiên gốc thời gian của P(t).

Mật độ phổ công suất của X_s(t) tìm được thông qua hàm tự tương quan của:

(3.17)

Biến đổi Fourier hàm tự tương quan ta được mật độ phổ công suất PSD của X_s (t) như sau:

(3.18)

Trong đó S_X (f) là PSD của X (t). Cần phải lưu ý: (i) khía cạnh giống nhau của (3.18) và (3.13); (ii) hình 3.3 và 3.4 áp dụng nếu phổ là tương ứng với PSD của X (t) và nếu các trục tọa độ được đánh nhãn phù hợp; (iii) vẫn dùng định lý lấy mẫu trước, và tín hiệu phải được lấy mẫu ở tần số lớn hơn gấp 2 lần tần số lớn nhất của tín hiệu để tránh méo do chồng phổ.