Võ Thị Hải Yến Mục lục LỜi nóI ĐẦU

Khi đó:

Khi đó:

Do đó

Do và do điều kiện (2.17) ta có:

Áp dụng bổ đề Gronwall- Bellman ta có:

Do nên với mọi ta có

Do đó nghiệm tầm thường của hệ (2.14) thỏa mãn định nghĩa về tính ổn định.

Giả sử là nghiệm của bài toán Cauchy (2.15). Khi đó

Do điều kiện (2.16) ta có:

Do đó

Nhân cả hai vế với ta có

Bất đẳng thức này có thể viết dưới dạng:

Từ giả thiết của định lý ta suy ra

Ký hiệu:

Ta có :

Nếu chọn và thực hiện quá trình lập luận tương tự ta có :

Từ đó các điều kiện của định nghĩa về sự ổn định của nghiệm tầm thường được thỏa mãn và định lý được chứng minh.

Xét hệ phương trình sai phân:

Xét bài toán Cauchy:

Bằng phương pháp truy hồi ta thấy nghiệm của bài toán Cauchy có dạng:

Nghiệm của bài toán Cauchy (2.21) có thể viết dưới dạng:

Trước tiên ta chứng minh định lý về sự ổn định của nghiệm tầm thường của (2.20)

Với bất kỳ chọn Khi đó nếu ta có:

Do đó nghiệm tầm thường của hệ (2.20) là ổn định theo định nghĩa

Thật vậy do nghiệm tầm thường của (2.20) là ổn định nên với , tồn tại sao cho nếu thì ;

Do đó

.

Nếu theo định nghĩa chuẩn của ma trận suy ra (2.22)

Nếu ta chứng minh tồn tại số sao cho:

.

Thật vậy giả sử thỏa mãn điều kiện , xét phần tử , ta có . Khi đó:

Do nên:

Chọn ta có:

Theo định nghĩa chuẩn của ma trận ta có:

Định lý được chứng minh.

Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất :

Xét bài toán Cauchy :

Bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng ta thấy nghiệm của (2.25) có dạng :

Giả sử thỏa mãn điều kiện:

trong đó thỏa mãn điều kiện

Do đó

Do và do điều kiện (2.26) ta có:

Áp dụng bổ đề Gronwall- Bellman, ta có:

Do nên với mọi ta có .

Do đó nghiệm tầm thường của hệ (2.24) thỏa mãn định nghĩa về tính ổn định.

2.5. Sự tương đương tiệm cận của các hệ phương trình sai phân

Trong không gian Rⁿ xét hai phương trình sai phân

trong đó .

Ký hiệu là họ nửa nhóm các ma trận sinh bởi ma trận A. Khi đó là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc của phương trình sai phân (2.27).

Ký hiệu là các ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc của (2.28), sử dụng phương pháp biên thiên hằng số Lagrăng ta có

Ký hiệu . Ta có là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến . Để xác lập định lý ( kiểu Levinson ) chúng tôi xin trình bày định nghĩa và bổ đề sau

Ta được .

Do đó

. (2.30)

Giả sử là nghiệm của phương trình sai phân (2.28) , tương ứng đủ lớn ta có . Đặt

Mặt khác nghiệm các phương trình (2.27) và (2.28) có thể viết dưới dạng

và .

Nên .

Suy ra

Giả sử tồn tại K sao cho , không mất tổng quát giả sử n là số chẵn, khi đó ta có

Trong trường hợp n là số lẻ ta chọn số chia tổng là .

Vì , cho bé tuỳ ý, với đủ lớn ta có

với

với .

với .

Vậy với ta có :

Từ đó suy ra . Định lý được chứng minh.

Khi phân tích sự biến động của thị trường hàng hoá người ta thường quan tâm đến các yếu tố sau: lượng hàm cung, lượng hàm cầu và sự thay đổi giá cả của hàng hoá đó. Để có thể thấy rõ mối quan hệ giữa các yếu tố này và sự biến động của chúng, chúng ta xây dựng mô hình sau đây

Ký hiệu: , là lượng hàng cung của loại hàng hóa thứ ,

, là lượng hàng cầu của loại hàng hóa thứ i,

, , là giá cả của hàng hóa thứ tại thời điểm quan sát (giả thiết t là biến thời gian rời rạc )

Giả sử:

Sử dụng phương pháp biểu diễn ma trận ta có thể viết lại các biểu thức trên ở dạng:

trong đó:

Chú ý rằng sự biến động của thị trường có xu hướng cân bằng giữa cung và cầu, tức là:

hay ,

Tuy nhiên trong thực tế giá của hàm cầu thường được ấn định theo mức giá của hàm cung ở thời điểm trước đó, nên từ phương trình trên ta có mô hình biến động thị trường sau:

.

Hoặc ta có hệ phương trình sai phân dạng

trong đó là các hàm số được các nhà kinh tế xây dựng tùy theo loại hàng hóa và thị trường mà chúng ta đang quan sát .

Khi phân tích hoạt động của thị trường hàng hoá, các nhà kinh tế học sử dụng hàm cung và hàm cầu để biểu đạt sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá hàng hoá ( với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi ). Dạng tuyến tính của hàm cung và hàm cầu như sau:

Hàm cung:

Hàm cầu:

trong đó là lượng cung, tức là lượng hàng hoá mà người bán bằng lòng bán;

là lượng cầu, tức là lượng hàng hoá mà người mua bằng lòng mua;

p là giá hàng hoá; , , , là các hằng số dương.

Mô hình cân bằng thị trường có dạng:

Giải phương trình này ta tìm được

Giá cân bằng:

Lượng cân bằng:

Chú ý rằng giá cả hàng hoá là một đại lượng phụ thuộc vào thời gian t, ,

Tuy nhiên trong thực tế giá của hàm cầu thường được ấn định theo mức giá của hàm cung ở thời điểm trước đó, nên từ phương trình trên ta có mô hình biến động thị trường sau:

Hay ta có hệ phương trình sai phân:

trong đó :

Sử dụng ký hiệu thông dụng ta viết phương trình sai phân nhận được dưới dạng

.

Giả sử rằng giá cả tại thời điểm ban đầu t = 0 đã được xác định là p₀, khi đó ta có:

Vì

Nên

Nhận xét:

Nếu thì hội tụ đến giá trị cân bằng .

Nếu thì

. Với n chẵn thì =

. Với n lẻ thì

Nếu thì tăng vô hạn.

Từ đó ta thấy tỷ số quyết định sự thay đổi của giá cả thị trường theo các khả năng sau:

. Giá cả biến động và sau một thời gian thì dần đến một giá trị cân bằng;

. Giá cả luôn dao động ở hai mức khác nhau;

. Giá cả biến động liên tục và tăng vô hạn theo thời gian.

Trong thực tế sản xuất nông nghiệp của người nông dân ở một số nước trên thế giới thường xảy ra tình huống sau. Việc quyết định diện tích gieo trồng một loại nông sản nào đó của người nông dân thường dựa trên cơ sở giá cả của loại hàng nông sản này được bán ra trong năm. Vì họ dự kiến rằng giá nông sản nào sẽ duy trì ở mức ổn định nên nếu giá bán của loại hàng nông sản nào đó cao, người nông dân sẽ quyết định trồng nhiều loại nông sản đó hơn. Năm tiếp theo khi vụ mùa được thu hoạch và đem nông sản ra ngoài thị trường bán, lượng cung sẽ vượt quá lượng cầu, giá giảm nên người nông dân bèn cắt giảm bớt diện tích gieo trồng loại nông sản này. Khi vụ mùa của năm thứ ba được thu hoạch, lượng cung của loại hàng nông sản nói trên có thể thấp hơn lượng cầu dẫn tới giá nông sản loại này lại tăng, do đó người nông dân lại tiếp tục điều chỉnh diện tích gieo trồng và quá trình này có thể lặp đi lặp lại trong một thời gian dài.

Về mặt phân tích toán học, chúng ta có thể mô hình hoá hiện tượng này dưới dạng các phương trình sai phân cấp một và xây dựng đồ thị các đường cong biểu diễn sự dao động của giá cả thị trường tương ứng với lượng hàng hoá cung và cầu thay đổi theo từng năm. Bức tranh nhận được từ các đường cong biểu diễn sự thay đổi của giá cả trồng giống như một mạng nhện, nên người ta thường gọi là hiện tượng mạng nhện hoặc chu trình mạng nhện (Cobweb cycles).

Sau đây chúng ta sẽ song song nghiên cứu ba hàm số phụ thuộc vào thời gian t, tại các điểm rời rạc t = 0, 1, 2, …

S_t là số đơn vị hàng hoá có khả năng cung cấp ở thời điểm t, gọi là hàng hoá cung.

D_t là số đơn vị hàng hoá mà thị trường có yêu cầu đòi hỏi ở thời điểm t, gọi là hàng hoá cầu.

p(t) là giá hàng hoá trên một đơn vị hàng hoá nói trên tại thời điểm t.

Dựa vào quan sát thực nghiệm chúng ta sẽ đưa ra một số giả định như sau:

1. 
   Số lượng hàng cầu luôn luôn phụ thuộc vào giá bán hàng hoá này tại thời điểm đó, tức là tồn tại hàm f sao cho:
   

1. 
   Số lượng hàng cung phụ thuộc vào giá cả của loại hàng hoá này ở thời kỳ trước đó, tức là tồn tại một hàm g sao cho:
   

1. 
   Giá cả thị trường của một loại hàng hoá được xác định bởi lượng hàng hoá cung hiện có và các giao dịch mua bán diễn ra tại mức giá mà ở đó lượng cung và lượng cầu bằng nhau, vì vậy p_t là nghiệm của phương trình
   

Giả sử f và g là những hàm cho trước, nếu chúng ta biết giá trị p₀ (tức là giá cả của mặt hàng tại thời điểm đầu tiên t = 0) thì ta có thể tính được lượng hàng cung S₁ tạo thời điểm t = 1 bằng cách dựa vào giả định (b):

S₁ = g(p₀).

Theo giả định (c) ta có thể tính được lượng hàng cầu tại thời điểm t = 1 là D₁ (vì rằng D₁ = S₁ , như vậy ta xác định được p₁ theo giả định (a) tức là tính p₁ từ hệ thức:

D₁ = f(p₁).

Quá trình này có thể tiếp tục và chúng ta sẽ tính được một dãy các giá trị giá cả tại các thời điểm khác nhau p₀, p₁, p₂, …, p_n, …

Một trong những vấn đề quan trọng được các nhà kinh tế và các doanh nghiệp quan tâm là khả năng dao động và dáng điệu thay đổi của giá cả và các đường cong biểu diễn quy luật của giá cả hàng hoá trong một số tình huống nhất định. Để có một ví dụ minh hoạ cụ thể chúng ta sẽ xét một trường hợp đơn giản nhất. Trong đó chỉ hạn chế xét trường hợp các hàm f và g là các hàm tuyến tính hoặc tựa tuyến tính.

Từ các giả định (a), (b), (c) ta nhận được các phương trình sai phân cấp một sau đây:

D_t = – m_d.p(t) + b_d , (2.34)

S_{t + 1} = m_s.p(t) + b_s , (2.35)

S_{t + 1} = D_{t + 1}, (2.36)

(m_d > 0, b_d > 0, m_s > 0, b_s > 0).

Trong đó – m_d là độ dốc của đường cong biểu thị sự thay đổi của lượng hàng hoá cầu, m_s là độ dốc của đường cong biểu thị sự thay đổi của lượng hàng hoá cung. Độ dốc của đường cong cầu là âm và độ dốc của đường cong cung là dương, tất cả các đại lượng m_d, b_d, m_s, b_s đều là các hằng số dương.

Để tiếp tục nghiên cứu quy luật dao động của giá cả thị trường chúng ta đưa hệ 3 phương trình sai phân cấp một trên về một phương trình sai phân cấp một . Thay (2.34) và (2.35) vào (2.36) ta có:

m_sp(t)+ b_s = – m_dp(t+1) + b_{d ,}

hoặc p(t+1) = Ap(t) + B,

trong đó .

Sử dụng ký hiệu thông dụng ta viết phương trình sai phân nhận được dưới dạng

p(n+1) = Ap(n) +B, n = 0, 1, 2, … (2.37)

Dễ dàng thấy rằng nghiệm của phương trình có dạng:

Ký hiệu ta thầy p(n)= p^* là một nghiệm riêng của phương trình (2.37). Nghiệm p(n) của (2.37) thoả mãn điều kiện ban đầu bằng p₀ có thể viết dưới dạng

Theo giả thiết A < 0 nên sự dao động của dãy {p(n)} có thể phân chia theo các trường hợp sau:

* Nếu –1 < A < 0 thì giá cả p(n) sẽ thay đổi theo xu hướng dao động, giảm dần và hội tụ đến giá trị cân bằng ;

* Nếu A = –1 thì giá cả dao động là hữu hạn;

* Nếu A < –1 thì dao động sẽ là vô hạn.

Vì A là tỷ số giữa độ dốc của đường cong cung và đường cong cầu nên tỷ số này sẽ quyết định dáng điệu của các đường cong biểu thị sự biến động của giá cả thị trường.

Trong các hình vẽ sau đây chúng ta có thể quan sát các ví dụ minh hoạ trong 3 trường hợp tương ứng là

–1 < A < 0 (hình a), A = –1 (hình b), A < –1 (hình c)

S_t+1

D_t

p₁ p₃ p^*p₄p₂ p₀

p_t

(a)

S_t+1

p₁ p^* p₀

p_t

(b)

D_t

p₃ p₁ p^* p₀ p₂ p₄ p_t

(c)