Võ Thị Hải Yến Mục lục LỜi nóI ĐẦU
tải về 1.04 Mb.
|
|
LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẩn của TS. Phạm Phu. Nhân dịp này em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra và giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và định hình hoàn thiện bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đai học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho em trong thời gian học tập tại trường. Em xin cảm ơn các thầy cô, các bạn trong Xemina của tổ giải tích Đại học Khoa học Tự nhiên. Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Cao hoc giải tích 2008 – 2010 về những lời động viên, những cử chỉ khích lệ, những sự giúp đỡ nhiệt tình. Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 3 năm 2011 Học viên
1.3.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất……………………..... 9 1.3.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng ………………………………. 11 1.4. Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất….. 12 1.5. Các khái niệm về ổn định và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân autonomous ……………………………… 16 1.5.1. Các khái niệm về ổn định ………………………………………… 16 1.5.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân autonomous …………………………………………… 17 1.6. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân không autonomous ……………………………………………………. 20 Chương 2 : Hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng………............................................. 24 2.1. Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến tính ……. 24 2.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất …………………... 24 2.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất …………... 25
2.6.1. Mô hình biến động giá cả thị trường ………………………………. 46 2.6.2. Hiện tượng “mạng nhện ” trong kinh tế nông nghiệp …………… 48 2.6.3. Mô hình ngoại thương đa quốc gia ………………………………. 53 Kết luận ……………………………………………………………………… 57 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………….. 58 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết định tính của hệ động lực rời rạc đã được nghiên cứu từ những năm đầu thế kỷ XVIII, song ngày nay nó vẫn được đông đảo các nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu. Những kết quả cơ bản của nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều mô hình ứng dụng. Đặc biệt trong thời gian gần đây nhờ có sự phát triển của công nghệ tin học, lý thuyết hệ động lực rời rạc nói chung và lý thuyết định tính của các hệ phương trình sai phân nói riêng đã có sự phát triển vượt bậc đặc biệt là khả năng ứng dụng thực tiễn của nó. Về tổng thể hầu hết các phương pháp thông dụng được sử dụng trong lý thuyết phương trình vi phân đều có thể xây dựng lại cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm của các hệ phương trình sai phân. Tuy nhiên về lý thuyết tính toán và các biểu thức toán học trong một số công thức cơ bản lại khá phức tạp. Mục tiêu cơ bản của bản luận văn là trình bày lại một cách hệ thống phương pháp hàm Lyapunov được sử dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình sai phân. Sau đó trình bày các ví dụ minh hoạ để chỉ ra khả năng ứng dụng của lý thuyết phương trình sai phân trong các mô hình ứng dụng. Trong chương 1 sau khi đã trình bày các khái niệm cơ bản về phép tính sai phân hữu hạn, chúng tôi đã trình bày một cách vắn tắt lý thuyết phương trình sai phân cấp cao và hệ phương trình sai phân. Phần tiếp theo của chương một là các định lý cơ bản của Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình sai phân. Trong chương 2 chúng tôi đã trình bày các định lý về tính ổn định của các hệ phương trình sai phân thuần nhất. Sau đó là một số điều kiện đủ về tính ổn định của các hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu. Phần cuối của luận văn là một số mô hình kinh tế như mô hình biến động giá cả thị trường, hiện tượng “mạng nhện” trong kinh tế nông nghiệp và mô hình ngoại thương đa quốc gia. Nhờ có các kết quả nhận được trong viêc nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình sai phân chúng ta có thể đi đến các kết luận hữu ích trong việc nghiên cứu các mô hình trên. Bảng ký hiệu Tập hợp các số nguyên không âm. Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a (a ) Tập hợp các số nguyên mở rộng. Tập hợp các số thực.
u(n) ( hoặc ) Hàm biến số nguyên. CHƯƠNG 1 NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV 1.1 Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn Định nghĩa 1.1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp một của hàm số u(n) = un với là hiệu Định nghĩa 1.2. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm u(n) = un là sai phân của sai phân cấp 1 của un , và nói chung sai phân cấp k của hàm un là sai phân của sai phân cấp k – 1 của hàm số đó. Sai phân cấp 2 của hàm un là ; Sai phân cấp 3 của hàm un là … Sai phân cấp k của hàm un là trong đó . Các tính chất của sai phân: Tính chất 1: Sai phân các cấp đều được biểu diễn qua các giá trị của hàm số trong đó . Tính chất 2: Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính với α , β là các số thực tuỳ ý. Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa thức bậc m bằng: * Hằng số, nếu k = m, * 0, nếu k > m, * Đa thức bậc (m – k), nếu k < m. Tính chất 4: đặc biệt khi k = 1, ta có 1.2 .Phương trình sai phân cấp cao Định nghĩa 1.3. Phương trình sai phân cấp k là một hệ thức giữa sai phân các cấp , trong đó un coi là sai phân cấp 0 của hàm un, cấp của phương trình sai phân chính là cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k). Định nghĩa 1.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp k của hàm un là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm un tại các điểm khác nhau trong đó với là các hằng số hoặc các hàm số của n, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; fn là một hàm số của n, được gọi là vế phải; un là giá trị cần tìm được gọi là ẩn. * Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính: Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k . (1.1) Phương trình sai phân thuần nhất tương ứng (1.2) Phương trình đặc trưng (1.3) Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính (1.1) là với là một nghiệm riêng của phương trình (1.1) và là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.2). Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng
trong đó là k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) và là các hằng số tuỳ ý. Nếu (1.3) có k nghiệm phân biệt thì hệ là hệ k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) và nghiệm tổng quát của (1.2) là
Nếu (1.3) có nghiệm thực bội s thì ngoài nghiệm ta bổ xung thêm các vectơ cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) và nghiệm tổng quát của (1.2) là Nếu (1.3) có nghiệm phức bội s thì ta lấy thêm các nghiệm và nghiệm tổng quát của (1.2) là trong đó là các hằng số tuỳ ý. 1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính 1.3.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình sai phân (xem [11]) Đặt
Khi đó hệ trên có thể viết dưới dạng: , (1.4) ở đây , là ma trận không suy biến. Bài toán Cauchy: Bằng phương pháp truy hồi ta thấy bài toán Cauchy luôn có nghiệm và nghiệm của bài toán Cauchy được cho bởi với mọi . * Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến Định nghĩa 1.5. Với mỗi ký hiệu . Khi đó được gọi là họ các ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến , được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cauchy ) hoặc còn được gọi là hàm Green. Nhận xét: Từ định nghĩa của ma trận Cauchy và họ toán tử tiến hoá ta thấy với mỗi thì : * . * với mọi . * với mọi Nghiệm của bài toán Cauchy có thể viết dưới dạng:
Khi là ma trận hằng ta thấy với mọi . 1.3.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11]) . (1.5) Định lý 1.1. Nghiệm của hệ (1.5) xác định bởi công thức . (1.6) Chứng minh. Ta tìm nghiệm của (1.5) dưới dạng (1.7) sao cho bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng . Vì Từ (1.8) Mà
Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được suy ra hay . Do đó : . Ta tìm được . (1.10) Vì nên thay (1.10) vào (1.7) ta nhận được (1.6).
Xét hệ trong đó p, q, r, s . Ta giải hệ này bằng cách đưa về phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2. Thật vậy : và . Chú ý định thức của hệ (a)-(b) là , ta có thể viết hệ (a)-(b) dưới dạng (c) Tức là đưa hệ (a)-(b) về phương trình cấp 2. Thí dụ 1.4.1. Giải hệ Giải. Hệ đã cho tương đương với Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng . Từ đó Do Từ phương trình đầu ta có Vậy Thí dụ 1.4.2. Giải hệ . Giải. Hệ đã cho tương đương với . Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng . Từ đó : . Mặt khác
Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng Từ đó
. Vậy 1.4.2. Giải phương trình phân thức , trong đó p, q, r, s là các hằng số, a cho trước. Giả sử và là nghiệm của hệ phương trình sai phân
Khi đó là nghiệm của phương trình đã cho. Thậy vậy, (đúng)
Phương trình cấp hai trên có phương trình đặc trưng . Vậy Thí dụ 1.4.5. Giải phương trình sai phân Giải. Xét hệ Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng . . Vậy 1.5. Các khái niệm về ổn định và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân autonomous 1.5.1. Các khái niệm về ổn định Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến (xem [11]) Đặt
. Khi đó bài toán Cauchy của hệ được viết dưới dạng : (1.12) trong đó u và f là các vectơ thành phần và , . Giả sử với mọi để hệ có nghiệm tầm thường Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm thường của hệ (1.12) được gọi là ổn định theo Lyapunov, nếu với sao cho từ bất đẳng thức suy ra với mọi . Định nghĩa 1.7. Nghiệm tầm thường của hệ (1.12) được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov, nếu nó ổn định theo Lyapunov và sao cho mọi nghiệm u(n) của hệ thoả mãn điều kiện thì . Định nghĩa 1.8. Nghiệm tầm thường của hệ (1.12) được gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov nếu trong định nghĩa tương ứng, số được chọn không phụ thuộc vào a. Định nghĩa 1.9. Nghiệm tầm thường của hệ (1.12) được gọi là ổn định mũ nếu đối với mỗi nghiệm của hệ thoả mãn bất đẳng thức: trong đó N và là hai hằng số dương. 1.5.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous Xét bài toán Cauchy: (xem [11]) (1.13) giả sử và với trong lân cận của gốc sao cho (1.13) có nghiệm tầm thường . Cho là một tập mở trong và chứa gốc. Giả sử V(u) là một hàm liên tục vô hướng xác định trên , và . Định nghĩa 1.10. V(u) được gọi là xác định dương trên nếu và chỉ nếu với , . Định nghĩa 1.11. V(u) được gọi là nửa xác định dương trên nếu , với mọi , (dấu bằng chỉ xảy ra tại những điểm xác định) Định nghĩa 1.12. V(u) được gọi là xác định âm ( nửa xác định âm) trên nếu và chỉ nếu là xác định dương ( nửa xác định dương) trên . Định nghĩa 1.13. Hàm được gọi là thuộc vào lớp K nếu và tăng chặt theo r. Vì liên tục, với r đủ nhỏ, ta có (1.14) trong đó . Trong (1.14) bên phải là hàm đơn điệu của r và ta có thể ước lượng hàm này thuộc vào lớp K. Do đó tồn tại hai hàm sao cho : . (1.15) Từ đó có thể định nghĩa cho hàm xác định dương V(u) như sau : Định nghĩa 1.14. V(u) được gọi là xác định dương trên nếu và chỉ nếu và tồn tại một hàm sao cho . Đặt là tập và là một nghiệm bất kỳ của (1.13) sao cho . Dọc theo nghiệm của (1.13) xét sai phân của hàm V(u) được xác định bởi . Hàm V(u) được gọi là hàm Lyapunov. Định lý 1.2. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương sao cho với nghiệm bất kỳ của (1.13) thoả mãn . Khi đó nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định. Chứng minh. Do V(u) là xác định dương, tồn tại một hàm sao cho với mọi . Với cho trước, vì V(u) liên tục và , ta có thể chọn được một số sao cho thì . Nếu nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn định, khi đó tồn tại nghiệm của (1.13) sao cho thoả mãn với . Tuy nhiên do khi , ta có và do đó , dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu thì . Nên nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định . Каталог: files -> ChuaChuyenDoi ChuaChuyenDoi -> ĐẠi học quốc gia hà NỘi trưỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Thị Hương XÂy dựng quy trình quản lý CÁc công trìNH ChuaChuyenDoi -> TS. NguyÔn Lai Thµnh ChuaChuyenDoi -> Luận văn Cao học Người hướng dẫn: ts. Nguyễn Thị Hồng Vân ChuaChuyenDoi -> 1 Một số vấn đề cơ bản về đất đai và sử dụng đất 05 1 Đất đai 05 ChuaChuyenDoi -> Lê Thị Phương XÂy dựng cơ SỞ DỮ liệu sinh học phân tử trong nhận dạng các loàI ĐỘng vật hoang dã phục vụ thực thi pháp luật và nghiên cứU ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Hà Linh ChuaChuyenDoi -> ĐÁnh giá Đa dạng di truyền một số MẪu giống lúa thu thập tại làO ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiêN ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Văn Cường tải về 1.04 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|