Võ Thị Hải Yến Mục lục LỜi nóI ĐẦU
tải về 1.04 Mb.
|
Định lý 1.3. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương sao cho trong đó và nghiệm bất kỳ của (1.13) thoả mãn . Khi đó nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (1.2) được thoả mãn nên nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định. Do đó với cho trước, giả sử tồn tại và một nghiệm = của (1.13) thoả mãn : . (1.16) Do nghiệm này thoả mãn nên tồn tại hằng số d > 0 sao cho . Vậy ta có . Điều này kéo theo và với n đủ lớn vế phải trở thành âm, mâu thuẫn với V(u) xác định dương. Do đó không tồn tại thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa V(u(n)) xác định dương và là hàm giảm theo n nên . Suy ra . Vậy nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định tiệm cận. Định lý 1.4. Giả sử tồn tại hàm vô hướng sao cho với và nghiệm bất kỳ = của (1.13) thoả mãn và nếu trong mọi lân cận H của gốc tồn tại một điểm u0 sao cho . Khì đó nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn định. Chứng minh. Lấy đủ nhỏ sao cho tập . Đặt , M xác định vì V liên tục. Gọi là số thoả mãn theo giả thiết tồn tại một điểm sao cho và . Dọc theo nghiệm và do đó là hàm tăng, .Do đó nghiệm u(n) này không đi về gốc. Nên , suy ra . Nhưng vế phải của bất đẳng thức này có thể lớn hơn M khi n đủ lớn, khi đó sẽ vượt ra ngoài tập nên nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn định. Ví dụ : Xét hệ phương trình sai phân (1.17) trong đó c là hằng số, chọn hàm xác định dương trên . Khi đó . Do đó nếu thì nên nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là ổn định. Tuy nhiên nếu thì nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là không ổn định.
Xét bài toán Cauchy: (xem [11]) (1.18) trong đó u và f là các véctơ thành phần và . Giả sử với mọi để hệ (1.18) có nghiệm tầm thường. Ta thấy hàm Lyapunov cho hệ này phụ thuộc vào n và u. Định nghĩa 1.15. Hàm vô hướng V(n,u) xác định trên được gọi là xác định dương nếu và chỉ nếu với mọi , và tồn tại một hàm sao cho , và là xác định âm nếu Định nghĩa 1.16. Hàm vô hướng xác định trên được gọi là giảm dần (decrescent) nếu và chỉ nếu với mọi , và tồn tại một hàm sao cho . Đặt là nghiệm bất kỳ của (1.18) sao cho với mọi . Dọc theo nghiệm này ta xét số gia của hàm : Tương tự như các kết quả trong trường hợp autonomous, hai định lý sau xét tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (1.18). Định lý 1.5. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương sao cho với nghiệm bất kỳ của (1.18) thoả mãn . Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định. Chứng minh. Do là xác định dương nên tồn tại một hàm sao cho với mọi . Với cho trước, vì liên tục và , nên ta có thể chọn được một số sao cho khi thì . Nếu nghiệm tầm thường của (1.18) là không ổn định, thì tồn tại nghiệm của (1.18) sao cho thoả mãn , . Tuy nhiên do khi , ta có = và do đó , dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu thì . Nên nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định. Định lý 1.6. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương sao cho trong đó và nghiệm bất kỳ của (1.18) thoả mãn . Khi đó nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (1.5) được thoả mãn nên nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định. Do đó với cho trước, giả sử tồn tại và một nghiệm = của (1.18) thoả mãn: . Do nghiệm này thoả mãn nên tồn tại hằng số d > 0 sao cho . Nên ta có . Điều này kéo theo với n đủ lớn vế phải trở thành âm, mâu thuẫn với V(n,u) xác định dương. Do đó không tồn tại thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa xác định dương và là hàm giảm theo n nên . Suy ra . Vậy nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định tiệm cận. Định lý 1.7. Giả sử các điệu kiện của định lý (1.5) được thoả mãn đối với hàm V(n,u) , đồng thời V(n,u) là giảm dần. Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều. Chứng minh. Do V(n,u) là hàm xác định dương và giảm dần, tồn tại hàm , sao cho với mọi . Với mỗi , , ta chọn được sao cho . Ta chứng minh rằng nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều. Thật vậy nếu và thì với mọi . Vì nếu giả sử điều này không đúng thì tồn tại sao cho và mà . Tuy nhiên do nên với mọi , do đó ta có . Mâu thuẫn này dẫn tới điều phải chứng minh. Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ để nghiệm tầm thường của hệ sai phân (1.18) là không ổn định.
Từ giả thiết (i) ta có là hàm giảm Do đó với mọi ta có . Điều này kéo theo . Từ giả thiết (i) ta có . Lại theo giả thiết (iii) ta có Lấy tổng từ a đến (k – 1) theo bất đẳng thức này ta được Tuy nhiên từ suy ra Do đó ta có
Điều này dẫn tới , mâu thuẫn với . Vậy nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là không ổn định. CHƯƠNG 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 2.1. Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến tính 2.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11]) Đặt
. Khi đó hệ trên có thể viết dưới dạng: , (2.1) ở đây và ta luôn giả thiết là ma trận không suy biến. Xét bài toán Cauchy : Bằng phương pháp truy hồi chúng ta thấy rằng bài toán Cauchy luôn có nghiệm và nghiệm của bài toán Cauchy được cho bởi với mọi . * Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến Định nghĩa 1.5. Với mỗi ký hiệu Khi đó được gọi là họ các ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận hàm không suy biến , được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cauchy ) hoặc còn được gọi là hàm Green Nhận xét: Từ định nghĩa của ma trận Cauchy và họ các trận tiến hoá ta thấy với mỗi thì: * * với mọi . * với mọi . Nghiệm của bài toán Cauchy có thể viết dưới dạng:
Khi là ma trận hằng ta thấy với mọi . 2.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Xét bài toán Cauchy (xem [11]) (2.2) trong đó và , Định lý 2.1. Nghiệm của hệ (2.2) xác định bởi công thức (2.3) Chứng minh. Ta tìm nghiệm của (2.2) dưới dạng (*) sao cho bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng. Vì Từ đó ta có (2.4) Mà (2.5) Kết hợp (2.4) và (2.5) ta được suy ra hay . Do đó : . Ta tìm được . (2.6) Vì nên thay (2.6) vào (*) ta nhận được (2.3). Hệ quả 2.1. Nếu là ma trận hằng ta được với mọi (2.7) 2.2. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số hằng Xét hệ phương trình sai phân: , . (2.8) Xét bài toán Cauchy: (2.9) Bằng phương pháp truy hồi ta thấy nghiệm của bài toán Cauchy có dạng: , Ký hiệu Khi đó là họ nửa nhóm các ma trận sinh bởi ma trận A. Nửa nhóm có các tính chất sau:
Nếu chọn . Hệ .(2.8) có thể viết dưới dạng (2.10) Bài toán Cauchy (2.9) sẽ tương ứng với bài toán Cauchy (2.11) Nghiệm của (2.11) là: Chúng ta nhắc lại định nghĩa về sự ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (2.1) .
Chú ý : Sự ổn định của nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định đều Trước tiên ta chứng minh định lý về sự ổn định của nghiệm tầm thường của (2.10).
Với bất kỳ ta chọn . Khi đó nếu ta có: Do đó nghiệm tầm thường của hệ (2.10) là ổn định theo định nghĩa. Điều kiện cần: Giả sử nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định ta sẽ chứng minh điều kiện (2.12) được thỏa mãn. Thật vậy do nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định nên với tồn tại sao cho nếu thì , Do đó . Nếu theo định nghĩa chuẩn của ma trận suy ra (2.12). Nếu ta chứng minh tồn tại số sao cho:
Thật vậy giả sử thỏa mãn điều kiện , xét phần tử . Suy ra Khi đó:
Do nên: , Chọn ta có: Theo định nghĩa của chuẩn ma trận ta có: , Nhận xét: Từ định lý (2.2) ta thấy nếu nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định thì tất cả các nghiệm của hệ là giới nội và ngược lại Định nghĩa 2.3. Nghiệm tầm thường của hệ (2.10) được gọi là ổn định tiệm cận nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn. a. Nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định. b. Tồn tại sao cho với mọi nghiệm u(n) của hệ thỏa mãn điều kiện thì . Định lý 2.3. Nghiệm tầm thường của hệ phương trình sai phân (2.10) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tồn tại số thực và sao cho: , (2.13) Chứng minh : Điều kiện đủ: Do nên từ (2.13) ta có Theo định lý 2.2 ta suy ra nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định. Mặt khác từ bất đẳng thức
nếu thì . Vậy nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định tiệm cận. Điều kiện cần: Do nghiệm tầm thường của hệ (2.10) là ổn định tiệm cận nên nó ổn định và do đó điều kiện (2.12) là thỏa mãn, tức là tồn tại sao cho . Mặt khác từ điều kiện (b) của định nghĩa 2.3 ta suy ra: Tồn tại sao cho với mọi ta có:
Bằng cách chứng minh tương tự như ở định lý 2.1 (điều kiện cần ) ta sẽ chứng minh được rằng với mọi thì , ( không mất tổng quát ta có thể giả thiết ). Giả sử là một số tự nhiên bất kỳ, ta có trong đó là một số tự nhiên và . Theo tính chất của nửa nhóm ta có:
Từ đó . Ký hiệu và đặt Ta có:
Ký hiệu ta có: với . Định lý được chứng minh . 2.3. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với ma trận hệ số hằng Xét hệ phương trình sai phân: (2.14) trong đó thỏa mãn điều kiện Bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng ta thấy nghiệm của bài toán Cauchy (2.15) có dạng: Giả sử thỏa mãn điều kiện:
trong đó thỏa mãn điều kiện Bổ đề 1. (Gronwall- Bellman) Giả sử với mọi bất đẳng thức sau thỏa mãn . (2.17) Khi đó với mọi ta có: (2.18) Chứng minh : Ký hiệu , Đối với hàm này ta có: , . (2.19) Từ (2.17) ta có: . Từ (2.18) và (2.19) ta suy ra , hay
. Do nên nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với ta có : . Bất đẳng thức trên có thể viết lại dưới dạng . Lấy tổng của các bất đẳng thức trên từ đến và chú ý rằng ta có: . Từ đó
. Do (2.18) ta suy ra . Sử dụng công thức (xem [11] ) . ta nhận được : . Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2 : (Gronwall- Bellman mở rộng ) (xem [11]) Giả sử với mọi bất đẳng thức sau thỏa mãn . Khi đó với mọi ta có: . Chứng minh: Xét hàm xác định trên như sau: . Với hàm ta có: , . Từ giả thiết của bổ đề 2 ta có:
(do đó ). Do đó từ đẳng thức
Nhân cả hai vế với ta được , hay
. Lấy tổng của các bất đẳng thức trên từ đến và sử dụng giả thiết ta có: . Từ đó ta có: . Sử dụng bất đẳng thức , ta có:
. Каталог: files -> ChuaChuyenDoi ChuaChuyenDoi -> ĐẠi học quốc gia hà NỘi trưỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Thị Hương XÂy dựng quy trình quản lý CÁc công trìNH ChuaChuyenDoi -> TS. NguyÔn Lai Thµnh ChuaChuyenDoi -> Luận văn Cao học Người hướng dẫn: ts. Nguyễn Thị Hồng Vân ChuaChuyenDoi -> 1 Một số vấn đề cơ bản về đất đai và sử dụng đất 05 1 Đất đai 05 ChuaChuyenDoi -> Lê Thị Phương XÂy dựng cơ SỞ DỮ liệu sinh học phân tử trong nhận dạng các loàI ĐỘng vật hoang dã phục vụ thực thi pháp luật và nghiên cứU ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Hà Linh ChuaChuyenDoi -> ĐÁnh giá Đa dạng di truyền một số MẪu giống lúa thu thập tại làO ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiêN ChuaChuyenDoi -> TRƯỜng đẠi học khoa học tự nhiên nguyễn Văn Cường tải về 1.04 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|