Võ Thị Hải Yến Mục lục LỜi nóI ĐẦU

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một ứng dụng nhỏ của lý thuyết định tính của hệ phương trình sai phân. Qua ví dụ này chúng ta thấy lý thuyết định tính của phương trình sai phân có một vai trò quan trọng cả về mặt lý thuyết và ứng dụng trong đời sống hàng ngày.

Tổng thu nhập của cộng đồng bao gồm: Tổng tiêu dùng (C) + Tổng chi phí đầu tư (I) + Tổng giá trị xuất khẩu (X) - Tổng chi phí nhập khẩu (N).

Ký hiệu:

Y = Tổng thu nhập quốc dân;

X = Tổng giá trị xuất khẩu;

C = Tổng tiêu dùng;

I = Tổng chi phí đầu tư;

N = Tổng chi phí nhập khẩu.

Ta có: Y = C + I + X – N. (a)

Để có thể thiết lập mô hình kinh tế tương ứng ta bổ sung thêm một số giả thiết:

1. 
   Thời điểm quan sát: Thời gian thời điểm quan sát rời rạc: n = 0, 1, 2,… chỉ số i ứng với nước thứ i.
   
2. 
   Nhu cầu tiêu dùng (C) luôn tỉ lệ thuận với thu nhập ở thời kỳ trước đó theo quy luật:
   

trong đó C^* = tổng các giá trị hàng hoá và dịch vụ cần dùng tối thiểu cho cuộc sống; gọi là hệ số tiêu dùng.

1. 
   Tổng đầu tư (I) tỷ lệ thuận với thu nhập ở thời kỳ trước đó theo quy luật:
   

ở đây I^* = kinh phí tối thiểu phải đầu tư để có thể tiếp tục duy trì các hoạt động sản xuất và kinh doanh; gọi là hệ số đầu tư.

1. 
   Tổng chi phí cho nhập khẩu tỷ lệ thuận với tổng thu nhập ở thời kỳ trước đó theo quy luật:
   

ở đây N^* = chi phí tối thiểu cho nhập khẩu (chi phí để nhập những loại hàng hóa thiết yếu mà quốc gia đó không tự sản xuất được); gọi là hệ số nhập khẩu; Để phù hợp thực tế ta có thể coi .

1. 
   Tổng giá trị xuất khẩu (X) của nước thứ i bằng tổng số chi phí nhập khẩu từ các nước khác nên ta có:
   

Kết hợp các giả thiết trên và biểu thức (a) và (b) ta nhận được hệ phương trình sai phân tuyến tính:

Trong trường hợp đặc biệt ta có hệ phương trình có dạng:

Theo lý thuyết phương trình sai phân ta tìm được nghiệm của hệ là

Khi nghiên cứu hệ phương trình sai phân trên chúng ta có thể đi đến một kết luận cho quá trình phát triển kinh tế chung và đề ra các chiến lược kinh tế thích hợp.

Mô hình ngoại thương giữa hai quốc gia là mô hình ngoại thương đơn giản nhất.

Để thiết lập mô hình này trước hết chúng ta cần có một số giả thiết sau:

Ta sẽ sử dụng các ký hiệu:

1. 
   Thu nhập quốc dân bằng tổng tiêu dùng cộng với đầu tư ròng , cộng với xuất khẩu , trừ đi nhập khẩu ( ).
   

1. 
   Kinh phí cho tiêu dùng nội địa bằng tổng tiêu dùng , trừ đi nhập khẩu .
   

Do đó Y = D + X + I.

1. 
   Thời gian được chia thành các thời kỳ giống nhau và lấy giá trị là Tất cả các đại lượng đều thay đổi theo thời gian từ thời kỳ này qua thời kỳ khác. Trừ đầu tư ròng được giả định là luôn luôn giữ mức không đổi.
   

Do đầu tư ròng được giả định là luôn luôn giữ mức không đổi nên hệ (2.38) có thể viết dưới dạng:

(d) . Tại một thời kỳ xác định, tiêu dùng nội địa và chi phí nhập khẩu của mỗi nước là tỷ lệ thuận với thu nhập quốc dân của nước đó ở thời kỳ trước đó (chính xác hơn là bằng tích của một hằng số không đổi nhân với thu nhập quốc dân ở thời kỳ trước đó). Viết dưới dạng biểu thức toán học ta có:

trong đó là các hằng số.

Từ (2.39) và các đẳng thức trên ta sẽ nhận được hệ phương trình sai phân

hay

Hệ này có thể viết dưới dạng ma trận:

( t = 1,2,…) .

Hoặc dưới dạng

, t =1,2,…

trong đó ; ; .

Sử dụng ký hiệu thông dụng ta có thể viết hệ phương trình sai phân dưới dạng

.

Bằng quy nạp ta có thể chứng minh được rằng:

Vì

Nên nếu là ma trận không suy biến thì

Do đó (2.40) có thể viết dưới dạng:

Từ đó ta thấy điều kiện cần và đủ để ma trận thu nhập quốc dân tiệm cân tới một ma trận hằng, độc lập với , khi là , khi ,

(tức là mỗi phần tử của ma trận này đều dần đến không).

Khi đó

Như vậy ta có bài toán tiếp theo là tìm điều kiện để khi .

Bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình sai phân là một trong những hướng nghiên cứu đang được nhiều người quan tâm vì có nhiều ứng dụng trong thực tế.

Trong bản luận văn này chúng tôi đã trình bày một cách hệ thống hai phương pháp cơ bản của Lyapunov được sử dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình sai phân, đó là phương pháp hàm Lyapuno và phương pháp xấp xỉ thứ nhất.

Hiện nay các phương pháp này đang được ứng dụng rộng rãi trong các mô hình ứng dụng và mở rộng cho việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực rời rạc.

Phần cuối cùng của luận văn chúng tôi trình bày một số ứng dụng của lý thuyết phương trình sai phân cho một số mô hình kinh tế dạng đơn giản để minh hoạ khả năng ứng dụng của nó trong thực tiễn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] B.P. Đêmiđôvich (1967), Bài giảng về lý thuyết ổn định toán học (dịch từ tập tiếng Nga), NXB Khoa học Maxcơva.

[2] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp(2001), Phương trình sai phân và một số ứng dụng, NXB Giáo dục.

[3] Billur Kaymakcalan (1992), Lyapunov stability theory for Dynamic systems on the time scales J. Appl.Math and Stochastic Analysis 275-282.

[4] G.Eleutheriadis, M.Boudourides (1998) On the problem of asymptotic equivalence of ordinary differential equation, Ital, J.Puer Appl Math 4, 61-72.

[5] J.K. Hale and S.M.V. Lunel, (1993) Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag New York Berlin London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest

[6] J.Kato (1996), The asymptotic equivalence of functional differential equa-tions, J. differential Equat.1,3, 306-332.

[7] K.L. Coppel (1965) Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations , D.C Heath and Company Boston Publisher.

[8] K.L. Cooke (1967), Asymptotic theory for the delay-differential equations J.Math.Analysis and Appl 160-173.

[9] Nguyễn Thế Hoàn (1975) Asymptotic equivalence of systems of differential equations, IZV Acad Nauk ASSR Number 2, 35-40 (Russian).

[10] N.Levinson, The asymptotic behavior of systems of linear differental equations Amer.J.Math, 63 (1946), 1-6.

[11] R.P. Agarwal (1992), difference equations and inequalities, Marcel Dekker Inc , New York.

[12] V.Lakshmikantham (1965), Stability Analysis of nonlinear systems, Marcol Dekker, INC, New York and Basel.

[13] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.