NỘi dung kiến thứCĐiểmPhương pháp tọa độ trong trong không gian

Tính khoảng cách từ đường thẳng và mặt phẳng : 2x2y + z + 3 = 0

2x + 2y + z + 3 = 0 tại M(-3; 1; 1).

ĐS:

VD2: Cho mặt cầu (S) bán kính R = 1. Lập phương tŕnh mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với .

ĐS:

* Nếu khác phía đối với (P). Gọi , khi đó

* Nếu cùng phía đối với (P). Lấy A₁ đối xứng với A qua (P). Gọi . Khi đó,

VD: Trong không gian Oxyz cho M(1; 2; 3), và N(4; 4; 5). T́m điểm I mp(Oxy) sao cho IM + IN nhỏ nhất.

Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt phẳng. Nếu M, N nằm về hai phía của mặt phẳng th́ I là giao điểm của MN và mặt phẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng th́ I là giao điểm của M ^'N và mặt phẳng trong đó M ^' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó.

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương tŕnh z = 0. Trước hết ta xét xem M và N có ở một trong hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy z_M . z_N = 3.5 = 15 > 0 M, N ở về một phía với mp (Oxy).

Gọi H là giao điểm của d với mp(Oxy).

Ta có H d H(1; 2; 3 + t)

V́ H(Oxy) 3 + t = 0 t = 3

Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy).

Ta có IM + IN = IM' + IN M'N Min (IM + IN) = M'N I là giao điểm của M'N và mp(Oxy)

Điểm I( 1 + 3t', 2 + 2t', 3 + 8t')d v́ I(Oxy) 3 + 8t' = 0 t' =

Vậy I
b. Dạng 2: Cho 2 điểm T́mđể max.

Phương pháp : Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng :

* Nếu cùng phía đối với (P). Gọi . Khi đó

* Nếu khác phía đối với (P). Lấy A₁ đối xứng với A qua (P). Gọi . Khi đó
c. Dạng 3: Cho 2 điểm . T́m cho trước sao cho (MA + MB) min.

Phương pháp : Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là h́nh chiếu tương ứng của các điểm A, B lên . Gọi M₀ là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số .

Ta chứng minh .

Mặt phẳng(P) qua MN và vuông góc với d có phương tŕnh là: x 2y + z 2 = 0

Gọi H = d (P), Hd H(7 + t; 3 2t; 9 + t)

V́ H(P) nên: (7 + t) 2(3 2t) +(9 + t) 2 = 0

Với Id, ta có: IM + IN HM + HN

Vậy: I

• 
  BÀI TẬP MẪU
  

 Công thức tính đạo hàm:

2. ; 3. ; 4. ;

1. 
   Xác định giao điểm của đường thẳng với mp.
   

1. 
   T́m h́nh chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; 3) lên .
   

1. 
   Xác định h́nh chiếu vuông góc của M(1; 1; 1) lên đường thẳng .
   

1. 
   Xác định điểm M’ đối xứng với M(13; 2; 3) qua mp. ĐS:
   
2. 
   Xác định điểm đối xứng với M(0; 2; -1) qua đường thẳng . ĐS: M’(4; 4; 1)
   
3. 
   Xác định h́nh chiếu của lên mp.
   

1. 
   Viết phương tŕnh đường thẳng qua M(1; 3; 0) và cắt cả
   

1. 
   Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mp và điểm J(-1; -2; 1). Gọi I là điểm đối xứng của J qua . Viết phương tŕnh mặt cầu tâm I, biết nó cắt theo một đường tṛn có chu vi là . ĐS:
   
2. 
   T́m tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương tŕnh lần lượt là và .
   

1. 
   Trong không gian cho mặt cầu (S) đi qua bốn điểm : A(0; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), D(0; 1; 0) và mặt cầu (S’ ) đi qua bốn điểm : . T́m phương tŕnh đường tṛn giao tuyến của hai mặt cầu đó.