NỘi dung kiến thứCĐiểmPhương pháp tọa độ trong trong không gian

• 
  Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
  
• 
  Viết phương tŕnh mặt phẳng, đường thẳng.
  
• 
  Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
  

Cho hệ tọa độ Oxyz và . Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x; y; z) sao cho . Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của và kí hiệu là : hoặc

Vậy :

Từ định nghĩa trên ta suy ra :

Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm và kí hiệu là  hoặc nếu : .

Vậy theo định nghĩa trên, ta có :

• 
  Gọi lần lượt là h́nh chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó
  
• 
  Gọi lần lượt là h́nh chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). Khi đó .
  
• 
  Cho . Khi đó
  

Cho hai véctơ . Khi đó :

1. 
   Tổng hiệu hai véctơ :
   
2. 
   Tích một số với một véctơ :
   
3. 
   Độ dài của véctơ : ;
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   Tích vô hướng của hai véctơ : a) ; b)
   
7. 
   
   
8. 
   Góc giữa hai véctơ :
   
9. 
   
   
10. 
    Hai véctơ bằng nhau :
    
11. 
    Véctơ cùng phương với
    
12. 
    Khoảng cách giữa hai điểm ; :
    

1. 
   Tọa độ trung điểm I của đoạn AB :
   
2. 
   Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :
   

1. 
   Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
   

1. 
   Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (), nghĩa là th́ tọa độ của M là
   

DạngPhương tŕnhTâmBán kínhChính tắcI(a; b; c)RTổng quátx² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

điều kiện: I(–a; –b; –c)Đặc biệtx² + y² + z² = R²O(0, 0, 0)R2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng :

Cho mp và mặt cầu

Gọi là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng :

Khi cắt mặt cầu (S) th́ giao tuyến là đường tṛn (C):

• 
  Phương tŕnh là:
  
• 
  Tâm H là h́nh chiếu vuông góc của tâm mặt cầu I lên mặt phẳng
  
• 
  Bán kính
  

Tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD :

Gọi phương tŕnh mặt cầu là:

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:

Kết luận: Phương tŕnh mặt cầu là:

Tích có hướng của hai véctơ và là một véctơ, kí hiệu là , và được xác định như sau :

1. 
   cùng phương với
   
2. 
   vuông góc với cả hai véctơ và
   
3. 
   
   
4. 
   
   

1. 
   Xét sự đồng phẳng của ba véctơ : Ba véctơ đồng phẳng
   

1. 
   Tính diện tích tam giác :
   
2. 
   Tính thể tích h́nh hộp :
   
3. 
   Tính thể tích tứ diện :
   
4. 
   T́m tọa độ chân đường cao của tứ diện : AH là đường cao của tứ diện ABCD. Tọa độ điểm H cho bởi :
   

1. 
   Cho A(3; 4; －1); B(2; 0; 3); C(－3; 5; 4). T́m độ dài các cạnh của tam giác ABC. Tính cosin các góc A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC. ĐS:
   

1. 
   Cho tam giác ABC với A(1; 2; －1), B (2; －1; 3), C(－4; 7; 5). Tính độ dài đường phân giác trong góc B. ĐS:
   
2. 
   Cho = (2; 3; 1), = (5; 7; 0), = (3; －2; 4 ). CMR: , , không đồng phẳng.
   

1. 
   Cho A(1; 2; 4), B(2; －1; 0), C(－2; 3; －1). Gọi M(x, y, z) ∈ (ABC). T́m hệ thức liên hệ giữa x, y, z. T́m tọa độ điểm D biết ABCD là h́nh b́nh hành và tính diện tích h́nh b́nh hành ABCD.
   

1. 
   Cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 1), B(1; 1; －2), C(2; 1; 0), D(0; －1; 2). Đường cao AH. T́m tọa độ H và độ dài AH. ĐS:
   
2. 
   Cho A(1; 2; －1). T́m B đối xứng với A qua Oxy và C đối xứng với A qua Oz. Tính S_△ABC.
   

1. 
   Cho A(1; 2; －1), B(4; 3; 5). Xác định M thuộc Ox, sao cho M cách đều A, B. ĐS:
   
2. 
   Cho A(－4; －1; 2), B(3; 5; －1). T́m C biết trung điểm của AC thuộc Oy và trung điểm của BC thuộc Oxz. ĐS:
   
3. 
   Cho A(－1; 2; 7), B(5; 4; －2). AB cắt Oxy tại M. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? T́m tọa độ M. ĐS:
   
4. 
   Cho . Gọi α , β , γ là 3 góc tạo bởi với Ox, Oy, Oz. CMR: cos²α + cos²β + cos²γ = 1.
   

• 
  Véctơ được gọi là véctơ pháp tuyến của mp nếu giá của vuông góc với mp, kí hiệu là .
  
• 
  Nếu hai véctơ và không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên mp (ta c̣n gọi hai véctơ và là cặp véctơ chỉ phương của mp) th́ mp nhận làm véctơ pháp tuyến.
  

Mặt phẳng đi qua và có VTPT có

phương tŕnh tổng quát là :

• 
  Mỗi mặt phẳng đều có phương tŕnh tổng quát dạng : với (1)
  
• 
  Ngược lại, mỗi phương tŕnh có dạng (1) đều là phương tŕnh của một mặt phẳng và mặt phẳng đó có một VTPT là .
  

Mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ O

và cắt Ox tại , cắt Oy tại

cắt Oz tại có phương tŕnh là :

Mặt phẳng Phương tŕnhVTPT1Qua gốc tọa độAx + By + Cz = 0 (D = 0)2Song song Ox hay vuông góc (Oyz)By + Cz + D = 03Qua (chứa) OxBy + Cz = 04Song song Oy hay vuông góc (Oxz)Ax + Cz + D = 05Qua (chứa) OyAx + Cz = 06Song song Oz hay vuông góc (Oxy)Ax + By + D = 07Qua (chứa) OzAx + By = 08Vuông góc Oz hay song song (Oxy)Cz + D = 09Trùng (Oxy)z = 010Vuông góc Ox hay song song (Oyz)Ax + D = 011Trùng (Oyz)x = 012Vuông góc Oy hay song song (Oxz)By + D = 013Trùng (Oxz)y = 05. Chùm mặt phẳng :

• 
  Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai
  

• 
  Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
  

Khi đó mỗi mặt phẳng (P) chứa (d) có phương tŕnh dạng :