Chương 1 2PHƯƠNG PHÁP THẾ HIỆU DỤNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

1Chương 1

2PHƯƠNG PHÁP THẾ HIỆU DỤNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

Trong chương này, chúng tôi trình bày trình bày bài toán dao động tử điều hòa lượng tử và chi tiết của phương pháp tích phân phiếm hàm kết hợp với thế hiệu dụng. Cuối chương là biểu thức giải tích cụ thể của hàm ma trận mật độ và sẽ được chúng tôi sử dụng để xác định các đại lượng nhiệt động trong các chương sau.

1. 
   . Bài toán dao động tử điều hòa lượng tử
   

Xét dao động tử điều hòa có một bậc tự do. Hamiltonian của dao động tử điều hòa lượng tử được viết dưới dạng:

Khi đó ma trận mật độ được cho bởi:

Trong đó tác dụng có dạng:

Để khai triển quỹ đạo về dạng quỹ đạo cổ điển chúng ta thực hiện phép chuyển như sau:

trong đó, quỹ đạo cổ điển thỏa mãn điều kiện phương trình chuyển động

Từ ta suy ra .

Thay biến mới vào hàm tác dụng ta thu được:

(1.6)

Thực hiện tích phân từng phần ta có:

Do và thỏa mãn phương trình chuyển động nên .

Vậy, ta có:

. (1.8)

Thành phần đầu tiên trong biểu thức của tác dụng S, , chính là tác dụng cổ điển nên ta có:

Do đó, ma trận mật độ của dao động tử điều hòa trở thành

Trong đó là tích phân đường có dạng:

Chú ý rằng, trong biểu thức không phụ thuộc vào các điểm q và q’ và do đó chỉ có đóng góp dưới dạng hằng số vào ma trận mật độ.

Để tính toán chúng ta chú ý rằng, là tích phân đường trên toàn hàm và xác định tại , . Như vậy, ta có thể khai triển Fourier hàm tuần hoàn dưới dạng:

(1.12)

Trong đó:

Từ đó suy ra:

Do đó:

Vì hàm cosin là hàm trực giao giữa và nên tích phân trên trở thành

Tương tự như vậy ta cũng thu được:

Do đó, ta có giới hạn

Vậy, biểu thức bây giờ trở thành

Ta có:

Như vậy ta được:

Cuối cùng, thêm thừa số đối với vi hạt tự do, ma trận mật độ của dao động tử điều hòa lượng tử trở thành:

Hay ta có thể biểu diễn ma trận mật độ của dao động tử điều hòa lượng tử dưới dạng khác:

Trong đó . (1.24)

Khi đó, ma trận cấu hình được chuyển về dạng gần đúng Gauss:

(1.25)

Trong đó (1.26)

Tổng thống kê của hệ cũng được xác định:

. (1.27)

Năng lượng tự do của hệ là:

Xét hệ gồm 3N bậc tự do.

Gọi M là ma trận chéo khối lượng nguyên tử, tọa độ và xung lượng

Giữa các tọa độ và xung lượng có mối quan hệ sau:

Ta có, biểu thức toán tử Hamiltonian chuẩn của hệ là:

Do M là ma trận khối lượng chéo nên ta có:

Theo định nghĩa, ma trận mật độ cho trong không gian thực có dạng:

(1.31)

hay:

trong đó là tác dụng Euclide có dạng:

Đặt: (1.34)

Do đó, ta có:

(1.35)

trong đó là ma trận mật độ tối giản đặc trưng cho phân bố đến từ tất cả các quỹ đạo mà là quỹ đạo trung bình.

Vậy:

(1.36)

Phương pháp tích phân quỹ đạo giả thiết một tác dụng Euclide thử chứa một vài tham số có thể thay đổi. Vì mục đích của chúng ta là mô tả các tính chất dao động nhiệt của vật rắn nên ta giả thiết tác dụng thử có dạng gần đúng điều hòa như sau:

trong đó:

Ở đây, F là ma trận chứa các hằng số lực bậc 2 và là ma trận đối xứng . Đại lượng F là ma trận thay thế cho đại lượng vô hướng trong trường hợp hệ có một bậc tự do.

Ứng với tác dụng Euclide thử ta có mật độ suy biến tương ứng là:

(1.39)

Mặt khác, ta có biểu diễn Fourier của hàm delta Dirac là:

Từ đó, biểu thức có thể viết lại:

hay:

Trong đó:

là ma trận mật độ tương ứng với Hamiltonian sau:

với các tham số của Hamiltonian phụ thuộc vào và y.

Để đưa Hamiltonian về dạng chuẩn ta thực hiện phép chuyển tuyến tính sau:

Và ,

Trong đó U là ma trận trực giao được cho bởi các vector riêng của ma trận , tức là ma trận trực giao U sẽ chéo hóa ma trận đối xứng .

Chú ý rằng, khi thực hiện phép chuyển ta được:

(1.45)

Trở thành:

hay:

Trong đó chú ý ở đây ta sử dụng mối liên hệ sau:

Khi đó Hamiltonian được đưa về dạng như sau:

hay:

Ta tiếp tục thựa hiện việc đổi biến sau: . Hamiltonian bây giờ trở thành:

Mặt khác, từ phép biến đổi

Vậy, cuối cùng ta được:

(1.51)

trong đó:

Từ đó suy ra:

Mặt khác là ma trận mật độ của dao động tử điều hòa. Trong trường hợp một chiều có dạng:

Do đó:

(1.54)

Trong đó:

Như vậy, khi áp dụng phương pháp thế hiệu dụng tích phân đường ta thu được biểu thức của ma trận mật độ có dạng:

Khi đó, giá trị trung bình nhiệt động của một đại lượng vật lý O bất kỳ trong gần đúng thế hiệu dụng được xác định bởi:

trong đó V_eff là thế hiệu dụng được định nghĩa bởi:

Ký hiệu chỉ giá trị trung bình trong gần đúng phân bố Gauss của tích phân 3N chiều:

Để tối ưu hóa w và ω, ta sử dụng bất đẳng thức Jensen-Feynman có dạng:

trong đó F là năng lượng tự do và F₀ là năng lượng tự do thử.

và

(1.64)

trong đó với hai thành phần ij được định nghĩa

(1.65)