Alias structure and confounding

Alias structure and confounding

Effects that are aliased, or confounded, cannot be estimated separately from one another. For example, if the two-way interaction, BC, is confounded with the three-way interaction, ADE, you will not be able to tell whether a significant effect is due to the BC interaction or the ADE interaction.

The key to the alias structure is the identity statement, for example, I + ABCDE. To determine which effects are confounded, multiply the term of interest by the identity statement and then eliminate the squared terms. For example, to find the term that BC is confounded with:

 (BC)(I ABCDE) =  BC  AB²C²DE = BC  ADE

Therefore, BC and ADE are confounded with one another.

 

Example of creating a blocked design

You would like to study the effects of five input variables on the impurity of a vaccine. Each batch only contains enough raw material to manufacture four tubes of the vaccine. To remove the effects due to differences in the four batches of raw material, you decide to perform the experiment in four blocks. To determine the experimental conditions that will be used for each run, you create a 5-factor , 16-run design, in 4 blocks .

1    Choose Stat >DOE > Factorial > Create Factorial Design.

2    From Number of factors, choose 5.

3    Click Designs.

4    In the box at the top, highlight the line for 1/2 fraction.

5    From Number of blocks, choose 4. Click OK.

6    Click Results. Choose Summary table, alias table, design table, defining relation. Click OK in each dialog box.

Session window output

Fractional Factorial Design     Factors:   5   Base Design:         5, 16   Resolution with blocks:  III Runs:     16   Replicates:              1   Fraction:                1/2 Blocks:    4   Center pts (total):      0   * NOTE * Blocks are confounded with two-way interactions.     Design Generators: E = ABCD     Block Generators: AB, AC     Defining Relation:  I = ABCDE     Alias Structure   I + ABCDE   Blk1 = AB + CDE Blk2 = AC + BDE Blk3 = BC + ADE   A + BCDE B + ACDE C + ABDE D + ABCE E + ABCD AD + BCE AE + BCD BD + ACE BE + ACD CD + ABE CE + ABD DE + ABC     Design Table (randomized)   Run  Block  A  B  C  D  E   1      1  +  -  -  -  -   2      1  -  +  +  -  +   3      1  -  +  +  +  -   4      1  +  -  -  +  +   5      3  -  +  -  +  +   6      3  +  -  +  -  +   7      3  +  -  +  +  -   8      3  -  +  -  -  -   9      4  +  +  +  +  +  10      4  +  +  +  -  -  11      4  -  -  -  +  -  12      4  -  -  -  -  +  13      2  +  +  -  -  +  14      2  -  -  +  +  +  15      2  -  -  +  -  -  16      2  +  +  -  +  -

Interpreting the results

The first table gives a summary of the design: the total number of factors , runs , blocks , replicates , center points , and resolution . After blocking, this is a resolution III design because blocks are confounded with 2-way interactions.

Because you chose to display the summary and design tables, Minitab shows the experimental conditions or settings for each of the factors for the design points. When you perform the experiment, use the order that is shown to determine the conditions for each run.

The first four runs of your experiment would all be performed using raw material from the same batch (Block 1). For the first run in block one, you would set Factor A high, Factor B low, Factor C low, Factor D low, and Factor E low, and measure the impurity of the vaccine.

Minitab randomizes the design by default, so if you try to replicate this example your run order may not match the order shown.

 

Design resolution

Describes the extent to which effects in a fractional factorial design are aliased with other effects. When you run a fractional factorial design, one or more of the effects are confounded, meaning they cannot be estimated separately from one another. In general, you want to use a fractional factorial design with the highest possible resolution for the amount of fractionation required. For example, it is usually better to choose a design where main effects are confounded with 3-way interactions (Resolution IV) over a design where main effects are confounded with 2-way interactions (Resolution III).

Resolution III, IV, and V designs are the most common:

Suppose you want to study the effects of 9 factors using only 12 runs , with 3 center points . In this 12 run design, each main effect is partially confounded with more than one 2-way interaction.

1    Choose Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design.

2    Choose Plackett-Burman design.

3    From Number of factors, choose 9.

4    Click Designs.

5    From Number of runs, choose 12.

6    In Number of center points per replicate, enter 3.

7    Click Results. Choose Summary table and design table. Click OK in each dialog box.

Session window output

In the first table, Total runs shows the total number of runs including any runs created by replicates and center points . For this example, you specified 12 runs and added 3 runs for center points, for a total of 15.

Minitab does not display an alias tables for this 12 run design because each main effect is partially confounded with more than one 2-way interaction.

Minitab shows the experimental conditions or settings for each of the factors for the design points. When you perform the experiment, use the order that is shown to determine the conditions for each run. For example, in the first run of your experiment, you would set Factor A low, Factor B low, Factor C low, Factor D high, Factor E high, Factor F high, Factor G low, Factor H high, and Factor J high.

Minitab randomizes the design by default, so if you try to replicate this example your runs may not match the order shown.

 

Thí dụ mẫu nhân tố đầy đủ với lập lại và khối

Một nghiên cứu nhằm mục tiêu khảo sát ảnh hưởng của 3 yếu tố đến kết quả của một phản ứng hóa học : thời gian (20 , 50 phút) , nhiệt độ (150^{0 ,} 200⁰) và chất xúc tác (A , B) . Chỉ có đủ hóa chất để thực hiện 16 thí nghiệm (16 runs) và mỗi ngày chỉ tiến hành được 8 thí nghiệm. Do đó cần tạo một mẫu nhân tố đầy đủ với 2 lập lại và 2 khối.

Bước 1 :

1    Chọn Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design.

2    From Number of factors, choose 3.

3    Click Designs.

4    In the box at the top, highlight the line for ful factorial..

Number of center points per block : 1

Number of replicates for corner points : 2

Number of blocks : 2

Click OK

5 Click factors

Factor	Name	Type	Low	High
A	Time	Numeric	20	50
B	Temperature	Numeric	150	200
C	Catalyst	Text	A	B

Click OK

5    Click Results. Chọn Summary table, alias table, design table, defining relation.

6    Click OK ở mỗi hộp thoại.

Full Factorial Design
Factors: 3 Base Design: 3, 8

Runs: 16 Replicates: 2

Blocks: 2 Center pts (total): 0

Block Generators: replicates

All terms are free from aliasing.

Design Table (randomized)
Run Block A B C

1 1 + - +

2 1 - - -

3 1 + + -

4 1 - + +

5 1 - + -

6 1 - - +

7 1 + - -

8 1 + + +

9 2 + + -

10 2 + - -

11 2 + + +

12 2 + - +

13 2 - - +

14 2 - + +

15 2 - + -

16 2 - - -

Lưu kết quả mẫu xuất hiện ở worksheet

Thực hiện 16 thí nghiệm (16 runs) theo bảng mẫu ở bước 1

Sau đó nhập tiếp kết quả thực nghiệm vào worksheet đã lưu ở bước 1(worksheet YIELD.MTB)

1    Chọn Stat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design.

3    In Responses, enter Yield.

4    Click Graphs. Under Effects Plots, check Normal, Half Normal, and Pareto. Click OK in each dialog box.

Session window output

Factorial Fit: Yield versus Block, Time, Temp, Catalyst     Estimated Effects and Coefficients for Yield (coded units)   Term                  Effect      Coef   SE Coef       T        P Constant                     45.5592   0.09546    477 .25   0.000 Block                         -0.0484   0.09546    -0.51   0.628 Time                  2.9594    1.4797   0.09546    15.50   0.000 Temp                  2.7632    1.3816   0.09546    14.47   0.000 Catalyst              0.1618    0.0809   0.09546     0.85   0.425 Time*Temp             0.8624    0.4312   0.09546     4.52   0.003 Time*Catalyst         0.0744   0.0372   0.09546     0.39   0.708 Temp*Catalyst        -0.0867   -0.0434   0.09546    -0.45   0.663 Time*Temp*Catalyst   0.0230    0.0115   0.09546     0.12   0.907     S = 0.381847    PRESS = 5.33236 R-Sq = 98.54%   R-Sq(pred) = 92.36%   R-Sq(adj) = 96.87%   Analysis of Variance for Yield (coded units)   Source               DF    Seq SS    Adj SS    Adj MS        F       P Blocks                1    0.0374    0.0374    0.0374     0.26   0.628 Main Effects          3   65.6780  65.6780   21.8927   150.15   0.000 2-Way Interactions   3    3.0273    3.0273    1.0091     6.92   0.017 3-Way Interactions   1    0.0021    0.0021    0.0021     0.01   0.907 Residual Error        7    1.0206    1.0206    0.1458 Total                15   69.7656    Estimated Coefficients for Yield using data in uncoded units   Term                       Coef Constant                39.4786 Block                -0.0483750 Time                  -0.102585 Temp                  0.0150170 Catalyst                0.48563 Time*Temp            0.00114990 Time*Catalyst        -0.0028917 Temp*Catalyst       -0.00280900 Time*Temp*Catalyst  0.000030700     Alias Structure I Blocks = Time Temp Catalyst Time*Temp Time*Catalyst Temp*Catalyst Time*Temp*Catalyst

Graph window output







Giải thích kết quả

Bảng phân tích phương sai cho tóm tắt về các ảnh hưởng chính và các tương tác. Nếu mô hình là trực giao (orthogonal). và không chứa hiệp biến thì Tổng bình phương liên tiếp (the sequential sums of squares (Seq SS) và tổng bình phương điều chỉnh (adjusted sums of squares (Adj SS) là bằng nhau. Xét giá trị p để xác định xem các ảnh hưởng có ý nghĩa hay không. Các ảnh hưởng được tóm tắt dưới đây :

Ảnh hưởng khối không ý nghĩa cho thấy các kết quả không chĩu ảnh hưởng của ngày thu thập số liệu.

Sau khi xác định các ảnh hu7o73ngco1 ý nghĩa (ảnh hưởng chính và tương tác 2 chiều) trong bảng ANOVA, hãy chú ý bảng ước lượng các ảnh hưởng cà các hệ số. Bảng này cho thấy giá trị p gắn liền với mỗi thành phần của mô hình . Giá trị p của Time * Temp (p = 0.003), Time (p = 0.000) và Temp (p = 0.000) là có ý nghĩa . Tuy nhiên, vì cả hai ảnh hưởng chính liên quan đến tương tác , cần hiểu bản chất của sự tương tác trước khi xem xét các ảnh hưởng chính

Sai số trong bảng ANOVA có thể gồm 3 phần : (1) độ cong (curvature) , nếu có các điểm trung tâm trong số liệu, (2) sụ thiếu phù hợp (lack of fit) , nếu mô hình rút gọn ( reduced model ) phù hợp, và (3) sai số thuần (pure error), nếu có lập lại . If the residual error is just due to lack of fit, Minitab does not print this breakdown. In all other cases, it does.

Biểu đồ chuẩn , bán chuẩn và Pareto của các ảnh hưởng giúp xác định các ảnh hưởng quan trọng và so sánh mức độ tương đối của các ảnh hưởng khác nhau.

Có thể vẽ biểu đồ các sai số theo thứ tự run để kiểm tra đường khuynh hướng thời gian hay những mẫu không ngẩu nhiên khác