A. MỞ ĐẦu lý do chọn đề tài

1. Lý do chọn đề tài

Vào thế kỉ XVI G. Cardano (1501-1576) đã nói đến các số “ảo” như là căn của các số âm. Đến giữa thế kỉ XVIII các số phức rải rác xuất hiện trong các công trình toán học của I. Newton, N. Bernoulli, A. Clairaut... Song người được coi là sáng lập môn hàm phức chính là L. Euler (1707-1783). Ông đã nghiên cứu các hàm phức sơ cấp, đưa khái niệm khả vi vào năm 1755 và phép tính tích phân năm 1777. Nhiều ứng dụng hàm biến phức vào giải tích thực, thủy động học và phép vẽ bản đồ cũng do ông khởi xướng. Đầu thế kỉ XIX hàm biến phức đã phát triển thành một trong số ngành quan trọng nhất của giải tích toán học. Công lao to lớn thuộc về A.L Cauchy (1789-1857), người đã phát triển phép tính tích phân, K. Weierstrass (1815-1897), người đã phát triển lý thuyết chuỗi hàm và B. Riemann (1826-1866), người đã xây dựng cơ sở hình học của hàm biến phức (mặt cầu Riemann).

Tích phân hàm biến phức có vai trò quan trọng trong giải tích hàm biến phức. Tích phân phức giúp ta chứng minh được nhiều định lý cơ bản. Trong đó dùng tích phân hàm biến phức có thể chứng minh được định lý cơ bản của giải tích hàm biến phức là đạo hàm của một hàm chỉnh hình (hay còn gọi là hàm chính quy) là liên tục, thậm chí có thể lấy vi phân/đạo hàm bao nhiêu lần cũng được. Thời gian gần đây tuy người ta đã chứng minh các định lý này mà không dùng đến tích phân hàm biến phức, song cách chứng minh phức tạp hơn rất nhiều so với phương pháp cổ điển.

Vì vậy, trong quá trình học tập và nghiên cứu môn Hàm biến phức em chọn đề tài “Tích phân phức và các bài toán tích phân phức bằng định nghĩa” làm tiểu luận nghiên cứu của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về tích phân phức.

Một số bài toán về tích phân phức bằng định nghĩa.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày cụ thể các nội dung về tích phân phức và các bài toán tính tích phân phức bằng định nghĩa.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tích phân phức, cách tính tích phân phức, các bài toán tích phân phức bằng định nghĩa.

5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp.

Hệ thống kiến thức liên quan và các kết quả thu được để hoàn thiện bài tiểu luận.

Phân tích một số bài tập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó nhằm giải quyết vấn đề của bài toán đặt ra.

6. Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm có ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tích phân phức, một số bài toán ví dụ

B. NỘI DUNG

Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tích phân đường loại 2

1.1.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho cung và hai hàm số xác định trên

Phân hoạch bởi các điểm với Giả sử Gọi

Trên cung lấy điểm xét tổng tích phân

Khi đó: là tích phân đường loại hai của trên cung

Vậy, tích phân đường loại hai là tích phân của hai hàm trên có dạng

1.1.2 Tính chất

• 
  Khi đổi chiều lấy tích phân thì tích phân đường loại 2 đổi dấu
  

• 
  
  
• 
  Nếu chia thành các phần cùng chiều nối tiếp nhau thì
  

• 
  Trường hợp 1: Nếu đường cong có phương trình thì
  
• 
  Trường hợp 2: Nếu đường cong có phương trình thì
  
• 
  Trường hợp 3: Nếu đường cong có phương trình tham số
  

Thì

1.2 Đường cong Jordan

Cho đường cong có thể biểu diễn tham số với . Ta nói là đường cong kín nếu Đường cong được gọi là đường cong Jordan (hay đường cong đơn) nếu nó không tự cắt nhau hay là đơn ánh trên nghĩa là khi

Chương II. TÍCH PHÂN PHỨC

2.1 Định nghĩa

Cho là đường cong trơn từng khúc với hai đầu mút Trên cho hàm số Chia thành phần bởi các điểm chia . Trên mỗi cung lấy điểm bất kì. Lập tổng tích phân

Nếu giới hạn của tổng tích phân trên tồn tại không phụ thuộc vào cách chọn điểm cách chia đường cong khi thì giới hạn đó gọi là tích phân của hàm dọc theo đường cong Kí hiệu bởi

2.1.1 Mối liên hệ giữa tích phân phức và tích phân đường loại 2

Sự tồn tại của tích phân phức tương đương với sự tồn tại hai tích phân đường sau:

• 
  Xét hàm xác định trên với thì ta có
  

Thay vào ta được:

Như vậy, tích phân của hàm trên đường cong được tính theo tích phân đường loại hai trong giải tích thực với phần thực là tích phân đường loại hai của hàm vector và phần ảo là tích phân đường loại hai của hàm vector , cả hai tích phân đều được tính trên đường cong

2.1.2 Các tính chất của tích phân phức

Cũng từ mối liên hệ giữa tích phân của hàm phức trên đường cong và tích phân đường loại hai trong giải tích thực nên các tính chất của tích phân đường loại hai vẫn đúng cho tích phân của hàm phức theo đường cong.

• 
  Tính chất 1: Nếu hàm có tích phân trên đường cong thì hàm với là một hằng số phức cũng có tích phân trên đường cong
  

• 
  Tính chất 2: Nếu hai hàm và có tích phân trên đường cong thì hàm tổng cũng có tích phân trên đường cong
  

• 
  Tính chất 3: Cho hàm có tích phân trên đường cong . Gọi là đường cong nhưng được định hướng có chiều ngược lại. Khi đó, hàm cũng có tích phân trên
  

• 
  Tính chất 4: Giả sử và là hai đường cong sao cho điểm cuối của là điểm đầu của . Nếu hàm có tích phân trên hai đường cong và thì có tích phân trên đường cong
  

Công thức trên vẫn được dùng để ký hiệu cho trường hợp điểm cuối của không trùng với điểm đầu của ; khi đó, không là đường cong mà chỉ là ký hiệu hợp hai đường cong ấy theo nghĩa tập hợp.

• 
  Tính chất 5: Cho hàm có tích phân trên đường cong . Khi đó, ta có
  

• 
  Tính chất 6: Giả sử các hàm liên tục trên miền và chuỗi hàm hội tụ đều trên tới hàm . Khi đó, với mọi đường cong trơn (hay đường trơn từng khúc) ta có:
  

Vì vậy, ta được

• 
  Tính chất 7: Giả sử là dãy các hàm liên tục trên miền và hội tụ đều về hàm . Khi đó, với mọi đường cong trơn (hay trơn từng khúc) ta có:
  

• 
  Tính chất 8:
  

• 
  _{Tính chất 9:}
  

• 
  Tính chất 10: Với ta có
  

Vì là một số thực, nên ta có:

Vậy

2.1.3 Cách tính tích phân phức bằng định nghĩa

Giả sử xác định, liên tục trên đường cong trơn với hai đầu mút a, b. Khi đó, tích phân của hàm được tính như sau:

Bước 1: Chia đường cong thành n phần

Bước 2: Tính . Lấy bất kì với ,

Bước 3: Lập tổng

Bước 4: Tính .

2.2 Một số bài toán tính tích phân phức:

2.2.1 Bài toán tính tích phân phức bằng định nghĩa: