Bài toán 5: Tính tích phân ; Bài giải

Phương trình của có thể viết dưới dạng:

Ta chọn phép phân hoạch . Khi đó:

Ta có , suy ra

Lập tổng:

Do đó:

Trong đó L là đường cong tùy ý có độ dài với điểm đầu z = a và điểm cuối

z = b (a và b là những số phức tùy ý).

Bài giải:

Giả sử , , , …, là các điểm chia trong phép phân hoạch đường cong L. Trong trường hợp đó: và:

Tổng đầu và tổng cuối của vế phải của (1) là tổng tích phân thông thường: trong tổng thứ nhất ta lấy điểm trung gian , còn trong tổng cuối ta đặt .

Xét một tổng nào đó ở giữa, chẳng hạn:

Và so sánh (2) với tổng cuối

S_n =

Ta có

Trong đó R là số nào đó không bé hơn khoảng cách từ điểm bất kỳ của L đến gốc tọa độ.

Ta cần chứng minh rằng . Thật vậy, ta có:

Do đó khi r  0 thì tổng đã nêu dần đến 0.

Từ đó suy rằng:

Qua giới hạn (1) khi r  0 ta thu được:

Tức là:

2.2.2 Bài toán tính tích phân phức dùng tích phân đường loại hai

• 
  Viết phương trình đường
  
• 
  Tách phần thực, phần ảo của hàm
  
• 
  Áp dụng công thức:
  
• 
  Tính tích phân của phần thưc, phần ảo chính là tích phân đường loại hai đã học.