Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô giáo pgs. Ts phan Hồng Liên, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn

Dựa vào phép biến đổi (1.2.1) tensor được định nghĩa như sau:

Tensor phản biến (Contravariant) cấp n là tập hợp các thành phần biến đổi theo quy luật:

(1.2.2)

Tensor hiệp biến (Covariant) cấp n là tập hợp các thành phần biến đổi theo qui luật:

(1.2.3)

Một cách tổng quát, tensor hỗn hợp phản biến cấp m và hiệp biến cấp n (còn gọi là Mixed (m, n) - tensor) là tập hợp các thành phần biến đổi theo qui luật:

(1.2.4)

ta suy ra công thức biến đổi ngược:

hay (1.2.5)

Công thức (1.2.5) cũng có thể được suy ra từ tính bình đẳng giữa x và x’.

Ta có nhận xét:

Nếu và là tensor hỗn hợp cấp (s,r) và (p,q) thì:

(1.2.6)

là tensor hỗn hợp cấp (s+p, r+q).

Nên

Có thể lập đại lượng bất biến từ hai tensor và như sau:

Thực vậy, theo phép biến đổi tổng quát:

và sử dụng hệ thức:

thì

Như vậy là một đại lượng bất biến.

Đại lượng được gọi là vô hướng – tensor hạng (0,0) nếu bất biến với phép biến đổi (1.1.1):

Đại lượng được gọi là tensor phản biến – tensor phản biến hạng 1 nếu nó biến đổi theo quy luật:

Lưu ý rằngkhông phải là vector phản biến vì ,

nhưng là vector phản biến có các thành phần là vi phân của các tọa độ vì:

(1.2.10)

Đại lượng được gọi là vector hiệp biến – tensor hiệp biến hạng 1 nếu nó biến đổi theo quy luật:

Đại lượng được gọi là tensor hỗn hợp (1,1)hạng 1 nếu nó biến đổi theo quy luật:

Ký hiệu Dirac là tensor hỗn hợp (1,1) vì:

Trong thuyết tương đối rộng, metric Minkowski , không phải là tensor. Vì vậy, trong trường hợp biến đổi tổng quát (1.2.1) thay vì ta dùng tensor metric cũng có tính đối xứng:

biến đổi theo qui luật tensor:

(dựa theo công thức (1.2.6) ở trên)

Bình phương yếu tố độ dài dạng tổng quát là một đại lượng bất biến:

Thật vậy:

theo (1.2.14)

=

mà theo (1.2.10) nó chính là

Như vậy, đại lượng: , được gọi là khoảng bất biến, và là tensor.

Chỉ số phản biến có thể hạ xuống thành chỉ số hiệp biến theo quy tắc:

Bên cạnh tensor metric ta dùng tensor metric đối xứng thỏa mãn hệ thức:

và biến đổi theo quy luật:

Nhân 2 vế của với ta được biểu thức:

suy ra

(vì )

Giả sử ta có vector và . Đạo hàm bình thường của chúng

Thật vậy: Nếu là tensor thì:

Vậy ; không phải là tensor.

Để tạo được tensor ta phải lập đạo hàm hiệp biến biến đổi theo quy luật (1.2.4). Cụ thể như sau:

Mặt khác: Đạo hàm hiệp biến được định nghĩa:

Trong đó được gọi là liên thông Affine hoặc kí hiệu Christoffel. không phải là tensor mà được chọn sao cho là tensor, tức là khi chuyển sang hệ tọa độ khác, ta có:

cũng là một tensor.

Như vậy ta phải đi tìm quy luật biến đổi của liên thông Affine, ta thừa nhận biểu thức (1.2.19), rồi từ đó suy ra . Biến đổi biểu thức (1.2.19):





(1.2.20)

Tiếp tục biến đổi (1.2.19):

So sánh (1.2.20) và (1.2.21):

Nhân cả hai vế với ta được:

suy ra (1.2.22)

Công thức trên chính là quy luật biến đổi của liên thông Affine.

Cũng hoàn toàn tương tự, đạo hàm hiệp biến:

Biến đổi (1.2.24) tương tự như (1.2.21) ta được:

Tổng quát hóa, đạo hàm hiệp biến của tensor hỗn hợp có dạng:

Ta tính biểu thức của liên thông affine qua tensor metric biến đổi theo quy luật (1.2.14) thỏa mãn các điều kiện sau:

1, Điều kiện đối xứng:

(1.2.27)

2, Điều kiện tương thích metric:

Lấy cả hai vế của hệ thức:

ta được:

Nhân hai vế hệ thức này với , ta có

Ta có phương trình metric với các chỉ số hoán vị vòng như sau:

(1.2.29)

(1.2.30)

(1.2.31)

Cộng (1.2.29) với (1.2.30) và trừ (1.2.31) vế với vế cho nhau, sử dụng tính chất đối xứng (1.2.25) ta có:

suy ra (1.2.32)

hay (1.2.33)

Nhân cả 2 vế của (1.2.33) với ta được kết quả:

suy ra

do đó

Tóm lại, trong trường hợp tổng quát khi tensor metric phụ thuộc x ta có không - thời gian cong Riemann. Trường hợp đặc biệt khi:

ta có không - thời gian phẳng Minkowski. Từ (1.2.22) ta thấy rằng khi không - thời gian là phẳng thì .

Khác với đạo hàm bình thường, các đạo hàm hiệp biến không giao hoán với nhau, tức là:

Ta hãy tính giao hoán tử của các đạo hàm hiệp biến khi tác dụng lên một vectơ hiệp biến:

*Tính

*Tính , tương tự ta có:

Thay (1.3.3) và (1.3.3) vào (1.3.1) ta có:

suy ra:

(thay )

Đặt:

Vậy: (1.3.4)

trong đó: được gọi là tensor độ cong Riemann.

Một số tính chất của tensor độ cong Riemann:

• 
  Tính phản xứng:
  

Chứng minh:

Ta có tensor độ cong:

suy ra

nên

• 
  Tính chất hoán vị vòng:
  

Chứng minh:

Cộng vế với vế của 3 phương trình này, sau đó kết hợp tính chất đối xứng ta được:

Bên cạnh ta cũng thường dùng liên hệ với nhau bởi tensor metric :

(1.3.8)

• 
  Có thể thấy tính chất đối xứng và phản đối xứng của :
  

Chứng minh (1.3.9), từ tính chất phản đối xứng (1.3.5) ta có:

Như vậy ta có các tính chất đối xứng và phản đối xứng của như sau:

Từ ta lập đại lượng:

được gọi là tensor Ricci.

Áp dụng (1.3.12) ta được:



(1.3.13)

Ta thấy rằng tensor Ricci có tính chất đối xứng như sau:

Từ tensor Ricci ta lập đại lượng

được gọi là độ cong vô hướng.

Tương tác hấp dẫn là tương tác rất yếu so với các tương tác mạnh, yếu, điện từ. Điều đó cho phép ta đặt:

Trong đó là đối xứng:, rất bé

và được đồng nhất với trường hấp dẫn.

Chú ý là tensor hạng 2 đối với phép biến đổi Lorentz, nhưng không phải là tensor đối với phép biến đổi tổng quát, cụ thể là biến đổi theo quy luật:

(1.4.3)

Trong phép gần đúng cấp 1 theo , ta có:

trong đó sự nâng và hạ chỉ số ở h được thực hiện bởi metric Minkowski

Xuất phát từ phương trình trắc địa:

trong “giới hạn Newton” khi:

• 
  Vận tốc của vật thể rất bé so với vận tốc ánh sáng.
  
• 
  Trường hấp dẫn là trường tĩnh,
  

Có thể chứng tỏ rằng, với là thế năng Newton [19].

(xuất phát từ , ta suy ra được , với )

1.5. Phương trình Einstein và tác dụng bất biến

Để xem sự phân bố vật chất ảnh hưởng đến hình học không gian hay hình học không gian quyết định đến nội dung vật lý? Einstein đi tìm mối quan hệ đó như sau:

Trong lý thuyết tương đối hẹp, khi có Lagrangian bất biến L(x) thì tác dụng được định nghĩa bởi: cũng bất biến.

Trong lý thuyết tương đối rộng thì không vậy. Để xây dựng tác dụng bất biến thay vì ta phải đi tìm phần tử bất biến tương ứng.

Từ quy luật biến đổi của tensor metric :

(1.5.1)

ta có thể suy ra quy luật của biến đổi định thức:

(1.5.2)

Kí hiệu: (g) là ma trận với phần tử ở hàng cột là

Ta viết (1.5.1) thành:

và từ đây suy ra:

Mặt khác:

từ (1.5.3) và (1.5.4) ta thấy rằng:

Vậy trong lý thuyết tương đối rộng, từ Lagrangian bất biến L(x) ta có thể lập tác dụng bất biến dạng:

Lagrangian bất biến của hệ trường vật chất và trường hấp dẫn thể hiện trong metric tensor . Einstein đã chọn , với. Do đó tác dụng bất biến mô tả hệ trường vật chất và trường hấp dẫn như sau:

với mô tả bản thân trường hấp dẫn.

Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với tác dụng (1.5.5):

Ta lần lượt tính và

Ta tính :

có thể được trình bày dưới dạng

Ở đây G chỉ chứa các tensor và các dẫn xuất đầu tiên của nó. Tích phân thứ hai có hình thức phân kỳ của một đại lượng nhất định .

Ta có:

Phía bên trái là 1 vô hướng, do đó các biểu thức bên phải cũng là một vô hướng. (Đại lượng G, bản thân nó tất nhiên không là 1 vô hướng).

Đại lượng G đáp ứng các điều kiện ở trên, nó chỉ chứa và các dẫn xuất của nó. Do vậy chúng ta có thể viết:

[13]

Ở đây k được gọi là hằng số hấp dẫn.

Đặt

Ta xét: [13]

(1.5.7)

Tính các biến phân ở vế phải. Ta có:

Để tính ta làm như sau, viết g dưới dạng:

từ đó suy ra:

Thay vào biểu thức sau: và sử dụng đồng nhất thức:

và

Ta có:

từ đây suy ra

Kết quả là:

(1.5.9)

Ta tìm được

Để tính ta dùng hệ quy chiếu quán tính định xứ, tại đó liên thông Affine: . Từ đó suy ra:

Do có cấu trúc tensor nên hệ thức cuối cùng cũng đúng cho mọi hệ quy chiếu. Vậy ta có:

Vì trong hệ quy chiếu quán tính:

Nên trong mọi hệ quy chiếu, do đó vế phải của (1.5.11) có thể đưa vào trong và viết:

Tiếp tục biến đổi vế phải:

Xét với hoặc bằng .

ta có:

do

nên

Ta có:

do đó:

Kết quả là:

Tính như sau:

ở đây là tensor năng-xung lượng của vật chất.

Từ phương trình

ta được:

hay

suy ra:

hay (1.5.16)

hoặc cách viết khác: (1.5.17)

Đây là những phương trình cơ bản của thuyết tương đối tổng quát.

Chúng được gọi là các phương trình Einstein. (the Einstein equations) [13].

(). Do đó các phương trình của trường cũng có thể được viết dưới dạng:

trong chân khôngdẫn đến

Như vậy phương trình trường Einstein (1916) là:

trong đó là tensor Einstein, tensor Ricci, là độ cong vô hướng, tensor năng- xung lượng (một tập hợp các đại lượng xác định mật độ năng lượng, mật độ xung lượng và mật độ ứng xuất).

Các tensor và là những hàm số của - mô tả hình học của không thời gian. Bên trái ta có không gian cong, còn bên phải là sự phân bố vật chất và năng lượng [6].

Các kết quả này dẫn đến kết luận rằng tính chất hình học của không thời gian được quyết định bởi trường vật chất.

Qui ước lấy các hằng số c=1, , nhưng giữ nguyên hằng số Newton [24] thì có các phương trình Einstein là:

(thay kí hiệu hằng số hấp dẫn Newton bởi kí hiệu )

Sau này Einstein đã sửa đổi phương trình của mình bằng việc đưa thêm vào

hằng số vũ trụ bằng cách thay (không còn dạng ) nên phương trình dưới hình thức như sau:

Đây chính là Phương trình vũ trụ Einstein (1917). Như vậy trong chương này ta đã nghiên cứu được tổng quan về Lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein và tương tác hấp dẫn cùng với nền tảng toán học là hình học Riemann cong – là cơ sở lý thuyết cho các tính toán ở chương sau.