CHƯƠNG 2 NGUYÊN LÝ ĐỐI NGẪU HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT VÀ CÁC TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN

1. 
   Tetrad
   

trong đó là metric phẳng Minkowski:

Hệ thức (2.1.1) cho ta hiểu rằng là những vector trực giao với nhau trong một không - thời gian phẳng. Không-thời gian phẳng này được chọn là tiếp tuyến với không-thời gian cong đang xét tại điểm M(x).

Cùng với các vierbein , ta cũng đưa vào các vierbein thoả mãn điều kiện :

(2.1.2)

(2.1.3)

Các chỉ số a, b là các chỉ số vierbein. Chú ý rằng vì là các vector nên biến đổi theo quy luật:

Dưới phép biến đổi toạ độ tổng quát nhân 2 vế của (2.1.2) với ta có:

hay (2.1.6)

Nhân 2 vế của (2.1.1) với ta có:

(2.1.7)

So sánh phương trình (2.1.7) với (2.1.2) ta có:

Nhân 2 vế của (2.1.8) với ta có:

suy ra (2.1.9)

Như vậy các chỉ số vierbein có thể đưa lên hoặc hạ xuống bằng metric Minkowski [19].

2. 
   Mối liên hệ giữa Metric và Tetrad
   

suy ra (2.1.10)

Nhân 2 vế của phương trình trên với ta được:



(2.1.11)

Nhân 2 vế của (2.1.11) với ta được:

vậy (2.1.12)

Từ (2.1.10) ta viết lại biểu thức của khoảng qua vierbein như sau:



(2.1.13)

trong đó là thành phần vierbein của được định nghĩa bởi:

Nhân hai vế của (2.1.14) với ta được biểu thức ngược lại:

vậy

Tương tự như ta định nghĩa các thành phần vierbein của vector như sau:

(2.1.15)

Theo (2.1.8) và (2.1.14) ta có:

hay (2.1.16)

Nhân hai vế của (2.1.15) với , ta được biểu thức ngược lại:

hay (2.1.17)

Từ hệ thức (2.1.6) ta có:

thế (2.1.17) vào biểu thức trên:

hay (2.1.18)

Vậy vierbein có vai trò tương tự như tensor metric nhưng không phải để nâng hạ chỉ số Lorentz mà là được dùng để chuyển từ vector mang chỉ số Lorentz sang vector mang chỉ số vierbein.

Một cách tổng quát thành phần vierbein của một tensor (n, m) được định nghĩa như sau:

Rõ ràng rằng là bất biến đối với phép biến đổi toạ độ tổng quát.

Thật vậy:

3. 
   Nguyên lý bất biến
   

Tác dụng bất biến đối với phép biến đổi tọa độ tổng quát (1.2.1) và phép biến đổi Vierbein:

Các trường vật lý phải là các vô hướng hoặc tensor đối với phép biến đổi tọa độ tổng quát (1.2.1) và là các vô hướng, hoặc tensor, hoặc spinor đối với phép biến đổi vierbein (2.1.20).

4. 
   Biểu thức của Tetrad
   

với (2.1.22)

Tương tự như (2.1.21), ta có:

(2.1.23)

từ đây suy ra:

Mặt khác:

trong đó

Từ (2.1.24) và (2.1.25) ta tìm được:

(2.1.26)

suy ra:

Thay (2.1.26), (2.1.27) vào (2.1.23) ta được biểu thức của vierbein như sau:

Ta có:

Vì vậy có thể tìm được biểu thức của các vierbein:

2. 
   Tính đối ngẫu hiệp biến tổng quát
   

Ví dụ điển hình là quan hệ:

cho tensor cường độ trường điện từ

Rõ ràng, trong Thuyết tương đối tổng quát, tính hiệp biến đòi hỏi các dạng tổng quát phải là một số tensor hạng 4 hoàn toàn phản xứng nào đó, kí hiệu là (x). Điều đó cũng có thể được đưa vào trong tích vector hiệp biến của 2 vector như sau:

Trong kí hiệu này, các dạng hiệp biến tổng quát cũ (2.2.1) trở thành

trong đó D là đạo hàm hiệp biến,

với là liên thông affine.

Trong hình thức luận tetrad, tensor 4 chiều (x) có như các thành phần 4 chiều, cụ thể là:

(2.2.4)

và (2.2.5)

với a, b, c, d là chỉ số bộ bốn.

Ta đã biết các vector bộ bốn thỏa mãn các hệ thức trực giao:

và công thức biến đổi ngược:

Cùng với tensor phản biến , chúng ta cũng xét các tensor hiệp biến

Rõ ràng là chúng ta có thể dặt

Ở đây và là một số trường thành phần tuân theo qui luật biến đổi:

đối với phép biến đổi không-thời gian tổng quát

J là các định thức của ma trận

Công thức (2.2.10) cho thấy và là vô hướng với phép biến đổi Lorentz ( với J=1) chứ không phải với phép biến đổi tổng quát.

Các công thức biến đổi ngược của (2.2.9) là

(2.2.11)

và (2.2.12)

Dấu trừ trong các phương trình (2.2.11) và (2.2.12) là do quy ước của chúng ta:



2.3. Các phương trình của trường vô hướng hấp dẫn

Từ định đề tetrad:

và cấu trúc bậc bốn (2.2.4) và (2.2.5), chúng ta có

Từ (2.2.9) và (2.3.2), ta có:

và do đó:

Ở đây

Các tính toán của các biểu thức có mặt trong những phương trình này được thực hiện bằng cách sử dụng phương trình

với sự khai triển

theo bậc nhất của trường hấp dẫn , ta có

từ đây ta thu được:

Một cách tương tự cho tensor Ricci, chúng ta có:

và (2.3.10)

Thay các kết quả (2.3.10) vào, các phương trình (2.3.8) bây giờ là:

(2.3.11)

Mặt khác, từ phương trình Einstein

mà (2.3.12)

trong đó -hằng số vũ trụ, -hằng số hấp dẫn, -tensor năng –xung lượng.

Thay biểu thức (2.3.12) của R vào các phương trình (2.3.11), ta có

trong đó

Từ các phương trình (2.3.13), chúng ta có thể kết luận rằng các trường B(x) và C(x) như là các trường vô hướng với khối lượng bình phương bằng:

(2.3.14)

Điều này có nghĩa rằng một trong số chúng có tính chất của hạt tachyon trong lý thuyết dây, trừ khi .

Trong giới hạn của lý thuyết hiệu dụng trong không – thời gian phẳng, Lagrangian tương tác cho những trường này và trường hấp dẫn có thể là:

(2.3.15)

Chúng ta có thể nói rằng vấn đề được xem xét trên đây liên quan chặt chẽ đến khái niệm đối ngẫu. Điều đáng lưu ý là dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng số hấp dẫn . Chúng có bản chất hấp dẫn và một trong số chúng là tachyon ( như trong lý thuyết dây ) – hạt có bình phương khối lượng âm.

Hằng số vũ trụ lần đầu tiên được Einstein đưa ra năm 1917 như một lực hấp dẫn để giữ cho vũ trụ ở trạng thái cân bằng tĩnh. Trong Vũ trụ học hiện đại, nó là ứng cử viên hàng đầu cho năng lượng tối, gây ra gia tốc của sự mở rộng vũ trụ [22].

“Vấn đề hằng số vũ trụ” là một trong những vấn đề nổi bật nhất của Vật lý lý thuyết. Đây là một chủ đề quan trọng của nhiều lĩnh vực nghiên cứu hiện nay, cả ở mức độ lý thuyết và ở mức độ thực nghiệm qua các bằng chứng quan sát ngày càng tăng về năng lượng tối. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu giải quyết vấn đề này khác nhau rất nhiều giữa các cộng đồng khoa học khác nhau.

Einstein là người đầu tiên đề xuất hằng số vũ trụ (không nên nhầm lẫn với các hằng số Hubble) thường được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp "lambda" (Λ), như là một sửa chữa toán học lý thuyết của thuyết tương đối. Hằng số vũ trụ lần đầu tiên xuất hiện trong một bài báo năm 1917 của Einstein có tựa đề là “ Xem xét Vũ trụ trong Lý thuyết tương đối tổng quát” (Einstein 1917) [22].Trong hình thức luận đơn giản của nó, Thuyết tương đối rộng dự đoán rằng Vũ trụ phải mở rộng hoặc co lại. Einstein cho rằng Vũ trụ là tĩnh, vì vậy ông thêm thuật ngữ mới này để ngăn chặn việc mở rộng [26]. Vào thời điểm đó, các quan sát vũ trụ của con người về các ngôi sao trong thiên hà của chúng ta còn bị hạn chế, do đó quan sát trong thời kỳ này là bằng chứng biện minh thực sự cho giả định rằng Vũ trụ là tĩnh. Mục tiêu của Einstein là để có được một Vũ trụ thỏa mãn nguyên lý Mach cho rằng vật chất quyết định quán tính, cần xây dựng một vũ trụ hữu hạn, ổn định chống lại sự suy sụp hẫp dẫn [22]. Nỗ lực chứng minh là vô ích vì ngay sau đó, năm 1922 Friedmann, một nhà toán học Nga, nhận ra rằng đây là một sửa chữa không ổn, và đề xuất một mô hình Vũ trụ đang mở rộng, bây giờ được gọi là lý thuyết Big Bang [26]. Những kết quả này có thể được coi là một tiên đoán rằng Vũ trụ phải được mở rộng hoặc co lại mà sau này được chứng minh bằng các quan sát. Khi quan sát sự dịch chuyển đỏ Hubble đã cho thấy rằng Vũ trụ trong thực tế là mở rộng, Einstein hối tiếc sửa đổi lý thuyết của mình và xem thuật ngữ hằng số vũ trụ là "sai lầm lớn nhất" của mình (Einstein 1931).

Các phương trình Einstein ban đầu là:

(3.1.1)

với qui ước lấy các hằng số c=1, =1, nhưng giữ nguyên hằng số Newton G [25].

Hằng số xuất hiện trong phương trình trường sửa đổi của Einstein dưới hình thức:

(3.1.2)

Có nhiều nhà vũ trụ học chủ trương phục hồi thuật ngữ hằng số vũ trụ trên cơ sở lý thuyết. Lý thuyết trường hiện đại liên kết thuật ngữ này với mật độ năng lượng của chân không. Mật độ năng lượng của chân không được định nghĩa với . Với mật độ năng lượng này có thể so sánh với các dạng khác của vật chất trong Vũ trụ, nó sẽ đòi hỏi Vật lý mới: thêm một thuật ngữ hằng số vũ trụ có ý nghĩa sâu sắc đối với vật lý hạt và sự hiểu biết của chúng ta về các lực cơ bản của tự nhiên [26].

Để khám phá sâu hơn bản chất của Vũ trụ, chúng ta phải sử dụng các ngôn ngữ toán học trong Thuyết tương đối tổng quát của Einstein để liên hệ hình học của không - thời gian (thể hiện bởi các tensor metric, ) với các hàm lượng năng lượng của vũ trụ, (thể hiện bởi tensor năng - xung lượng, ).

Hằng số vũ trụ và năng lượng chân không có một mối quan hệ mật thiết. Trước tiên ta đi tìm hiểu về năng lượng chân không.

Các thông số trạng thái ()

ức xạ 1/3 ật chất (áp suất không) 0 Độ cong -1/3 ằng số vũ trụ -1 ật chất (tổng hợp) 0 << 1/3

Bảng 1: Các thông số trạng thái mô tả mối quan hệ giữa áp suấtvà mật độ của vật chất: .

Đây là một số ví dụ về các thông số trạng thái cho các chất lỏng thông thường. Khi vật chất ở áp suất không p=0 thì , nhưng khi nó đạt vận tốc thì thông số trạng thái tăng và khi thì .

Năng lượng chân không phát sinh tự nhiên trong cơ học lượng tử do nguyên lý bất định. Trong vật lý hạt, chân không được hiểu là trạng thái cơ bản của lý thuyết ứng với cấu hình năng lượng thấp nhất. Nguyên lý bất định không cho phép các trạng thái năng lượng không chính xác, ngay cả trong chân không (các hạt ảo là được tạo ra). Vì trong Thuyết tương đối tổng quát tất cả các hình thức của năng lượng hấp dẫn, trạng thái năng lượng chân không cơ bản này không ảnh hưởng đến động lực học của sự mở rộng Vũ trụ.

Năng lượng chân không không có bất kỳ quy trình tiêu tán nào như dẫn nhiệt hoặc độ nhớt, vì vậy nó có dạng như một chất lỏng lí tưởng:

(3.1.3)

Để duy trì bất biến Lorentz, năng lượng chân không cũng không có hướng ưu tiên. Do đó, dạng đầu tiên trong chất lỏng lí tưởng, tensor năng lượng phải bằng không,dẫn đến:

Điều này tương ứng với phương trình trạng thái , và kết quả là trong tensor năng – xung lượng chứa năng lượng chân không:

Chúng ta có thể tách các tensor năng – xung lượng thành một phần mô tả vật chất và năng lượng, và một phần mô tả chân không, . Phương trình Einstein bao gồm năng lượng chân không trở thành:

Ta đã biết rằng hằng số vũ trụ xuất hiện trong phương trình Einstein dưới dạng:

Như vậy, năng lượng chân không và hằng số vũ trụ có thể hiện giống hệt nhau trong Thuyết tương đối tổng quát, miễn là mật độ năng lượng chân không được xác định bởi:

Trong một vũ trụ đồng nhất và đẳng hướng, hình học được xác định bởi các số liệu Friedamnn-Lemaître-Robertson-Walker và các động lực học của vũ trụ được chi phối bởi các phương trình Friedmann. Các động lực học được điều khiển bởi hàm năng lượng của vũ trụ và phương trình trạng thái của các thành phần tạo nên mật độ năng lượng. Thông số trạng thái liên quan với mật độ ρ và áp suất p theo công thức . Hằng số vũ trụ có mặt trong những phương trình này như sau:

ở đây a là các yếu tố của vũ trụ chuẩn tới thời điểm hiện nay, là hằng số Hubble, và k là độ cong của vũ trụ nhận các giá trị +1, 0, và -1 tương ứng với độ cong dương, phẳng, và âm.

Những phương trình này chấp nhận một nghiệm tĩnh () với và .

Sau khi Hubbe phát hiện ra rằng vũ trụ đang mở rộng, vai trò của hằng số vũ trụ để các nghiệm tĩnh đồng nhất với các phương trình Einstein khi có vật chất, dường như là không cần thiết.

Từ phương trình Friedmann (3.1.8), đối với bất kỳ giá trị nào của tham số Hubble có một giá trị tới hạn của mật độ khối lượng sao cho hình học không gian là phẳng (),. Người ta thường xác định tổng mật độ khối lượng theo mật độ tới hạn bằng tham số mật độ .

Nhìn chung, mật độ khối lượng bao gồm các khoản đóng góp từ các thành phần riêng biệt khác nhau. Theo quan điểm của Vũ trụ học, người ta quan tâm đến từng khía cạnh của mỗi thành phần có liên quan để khảo sát xem mật độ năng lượng của nó phát triển như thế nào khi vũ trụ mở rộng. Nói chung, một dương làm gia tốc sự mở rộng vũ trụ, trong khi một âm và vật chất thông thường có xu hướng giảm gia tốc. Hơn nữa, các đóng góp tương đối của các thành phần tới mật độ năng lượng là thay đổi theo thời gian. Đối với , vũ trụ sẽ mở rộng mãi mãi trừ khi có đủ vật chất để gây ra sụp đổ lại trước khi trở thành động lực học quan trọng. Đối với , chúng ta có các tình huống quen thuộc trong , vũ trụ mở rộng mãi mãi và vũ trụ suy sụp lại.

Gần đây hai nhóm, Sao siêu mới có độ dịch chuyển đỏ cao (High- Z Supernova Team) và Dự án vũ trụ học Sao siêu mới (Supernova Cosmology Project) trình bày bằng chứng cho thấy sự mở rộng của Vũ trụ là đang được gia tốc. Các đội này đã đo khoảng cách tới các siêu tân tinh vũ trụ bằng cách sử dụng thực tế độ sáng nội tại của siêu tân tinh loại Ia là liên quan chặt chẽ với tỷ lệ giảm của chúng từ độ sáng tối đa, có thể đo được một cách độc lập. Các phép đo này, kết hợp với các dữ liệu dịch chuyển đỏ cho siêu tân tinh, dẫn đến những dự đoán của một vũ trụ gia tốc. Cả hai nhóm thu được


và mạnh mẽ bác bỏ vũ trụ truyền thống . Giá trị này của tham số mật độ tương ứng với hằng số vũ trụ là nhỏ, nhưng khác không và dương,

[21]