§¹i Sè §¹i C­¬ng

Gi¶ sö E, F lµ hai tËp cho tr­íc. Ta nãi r»ng tËp E cïng lùc l­îng víi tËp F vµ kÝ hiÖu E  F khi vµ chØ khi cã mét song ¸nh.

DÔ thÊy r»ng quan hÖ cïng lùc l­îng “” gi÷a c¸c tËp cã tÝnh ch¸t cña mét quan hÖ t­¬ng ®­¬ng, tøc lµ:

E  E ( tÝnh ph¶n x¹)

E  F  F  E( tÝnh ®èi xøng)

VËy card E = card F khi vµ chØ khi tån t¹i mét song ¸nh f : E  F.

NÕu E vµ F lµ c¸c tËp gåm mét sè h÷u h¹n phÇn tö, dÔ thÊy cardE=cardF khi vµ chØ khi sè phÇn tö cña E b»ng sè phÇn tö cña F. NÕu tËp E cã n phÇn tö th× ta ®Æt card E = n. §Æc biÖt ®Æt card  = 0. VËy kh¸i niÖm lùc l­îng lµ sù tæng quat ho¸ kh¸i niÖm sè l­îng th«ng th­êng.

Ta ký hiÖu card N = N_o ( ®äc lµ alep kh«ng), N lµ tËp c¸c sè tù nhiªn, gäi lµ lùc l­îng ®Õm ®­îc; card R = N (®äc lµ alep) gäi lµ lùc l­îng c«ng-tinum, R lµ tËp tÊt c¶ c¸c sè thùc.

Trong líp tÊt c¶ c¸c tËp ®­îc s¾p hoµn toµn, chóng ta xÐt quan hÖ “” x¸c ®Þnh nh­ sau:(A, )  (B, ) khi vµ chØ khi tån t¹i ®¼ng cÊu tõ (A, ) tíi (B, ).

DÔ thÊy r»ng quan hÖ “” cã tÊt c¶ c¸c tÝnh chÊtcña quan hÖ t­¬ng ®­¬ng. Do ®ã chóng ta cã thÓ xem quan hÖ “” nh­ mét “ quan hÖ t­¬ng ®­¬ng” trªn líp c¸c tËp ®­îc s¾p hoµn toµn. Líp t­¬ng ®­¬ng cña tËp ®­îc s¾p (A, ) gäi lµ kiÓu thø tù cña tËp ®­îc s¾p (A, ), ký hiÖu bëi ord (A, ). VËy ord(A,)=ord(B, ) khi vµ chØ khi hai tËp ®­îc s¾p hoµn toµn (A, ) vµ (B, ) ®¼ng cÊu.

KiÓu thø tù tËp s¾p tèt (A, ) gäi lµ tù sè (hay sè siªu h¹n) cña tËp ®­îc s¾p (A, ) vµ ký hiÖu Ord (A, ).

Mét tËp n phÇn tö A = a₁,a₂, … a_n cã n! = n(n-1) … 3.2 c¸ch s¾p thø tù hoµn toµn. C¸c thø tù nµy ®¼ng cÊu víi nhau nªn chóng cïng kiÓu thø tù , ta kÝ hiÖu lµ n. ta quy ­íc Ord  = 0.

3. So s¸nh c¸c b¶n ®å.

Gi¶ sö E, F lµ hai tËp cho tr­íc. Ta nãi r»ng card E  card F nÕu tån t¹i mét ®¬n ¸nh f: E  F.

Tõ ®Þnh lý 1.3 suy ra mÖnh ®Ò sau:

MÖnh ®Ò 1.8:

NÕu card E  F vµ card F card E th× card E = card F.

Ta nãi r»ng card E < card F nÕu card E  card Fvµ card E  card F.

§Þnh lý 1.9( §Þnh lý cantor):

§èi víi mäi tËp E, ta cã card E < card P(E).

¸nh x¹ øng mçi phÇn tö x  E víi tËp con x  E lµ mét ®¬n ¸nh tõ t¹p E tíi tËp P(E). VËy card E  card P(E). Gi¶ sö tån t¹i mét song ¸nh f tõ E tíi P(E). Ta xÐt tËp A = x  E : x f(x)

A lµ mét tËp con cña E, tøc lµ A  P(E). Khi ®ã tån t¹i mét phÇn tö aE sao cho f(a) = A. NÕu a  a th× a  f(a) = A; cßn nÕu a  A th× af(a)=A. M©u thuÉn nµy b¸c bá gi¶ thiÕt tån t¹i song ¸nh f tõ E tíi P(E). VËy card E < card P(E).

§Þnh lý 1.10:

Gi¶ sö E, F lµ hai tËp kh¸c rçng bÊt kú cho tr­íc. Khi ®ã hoÆc cardEcard F hoÆc card F  card E.

Nãi c¸ch kh¸c, hai b¶n sè bÊt kú lu«n lu«n so s¸nh ®­îc.

Chøng minh:

§Ó chøng minh ®Þnh lý chóng ta chØ cÇn chøng tá r»ng cã Ýt nhÊt mét ®¬n ¸nh tõ E tíi F hoÆc cã mét ®¬n ¸nh tõ F tíi E.

Kh«ng thÓ cã ®ång thêi D_  E vµ (D_)  F. ThËt vËy, nÕu cã x_oE\D_ vµ y_o  F - (D_). Khi ®ã ¸nh x¹ ^*: D_  (x_o)  F, x¸c ®Þnh bëi: ^*(x_o) = y_o , vµ ^*/D_ = a lµ mét cËn trªn cña  trong (M, ), ®iÒu nµy m©u thuÉn víi tÝnh tèi ®¹i cña .