Chuyên đề: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Tổ Toán thpt núi Thành

-Theo tính chất véc tơ ta có:

Đặt , suy ra

-Lại có:

-Xét , với

Lập bảng biến thiên suy ra được: khi .

Bài 4: Cho 2 số thực x và y khác 0 và thỏa : (*)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (Khối A-2006)

Ta có :

Hơn nữa : (x+y)² 4xy suy ra :

( lưu ý S = 0 không thỏa)

Ta đi xét hàm số: trên .

Lập bảng biến thiên tìm được : khi S=1 suy ra khi

* Cách khác: .

Đặt . Từ gải thiết ta có:

Do đó . Từ đó .

Xét hàm số .

Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của A là: 16 đạt được khi .

A = 3(x⁴ + y⁴ + x²y²) – 2(x² + y²) + 1. (Khối B-2009)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

biểu thức .

Tìm giá trị lớn nhất của biêủ thức.

Cho ba số thực x,y,z thỏa: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Cho các số thực a,b,c không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Khi đó bất đẳng thức sau được thỏa mản với

+ Nếu chỉ xét trên R, miền liên thông thường xét:

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: với x,y,z là các biến số thực thỏa mản các tính chất nào đó. Khi đó ta sẻ thực hiện hai bước chính.

Đánh giá , với là bộ số thỏa mãn mọi tính chất của bộ số .

Bước 2: Đánh giá

Lưu ý: đối với các đẳng thức đồng bậc ta có thể làm cho chứng minh đơn giản hơn bằng cách chuẩn hóa các biến trong bất đẳng thức trước khi thực hiện hai bước.

<sub>b/Phân loại:

Loại 1: Bất đẳng thức không có điều kiện

( không ràng buộc các biến bằng một đẳng thức hay bất đẳng thức)</sub>

Đối với loại này thì dồn biến theo các đại lượng trung bình chẳng hạn như là những kỹ thuật chính dùng để dồn hai biến bằng nhau.

Ta có .

Suy ra

.

Bước 2: Ta đi chứng minh .

Ta có: (đúng).

Vậy (điều phải chứng minh).

*Cách 2: , đặt

Bước 1: Ta đi chứng minh với .

Ta có .

Suy ra

.

Bước 2: Ta đi chứng minh .

Ta có: (đúng).

Vậy (điều phải chứng minh).

*Cách 3: (Kỹ thuật thuật chuẩn hóa theo tổng đối với bất đẳng thức đồng bậc)

Nếu thì ta có: (1)

Do đó g(x,y,z) là thuần nhất bậc không nên ta chuẩn hoá .

Nếu thì

Từ đó ta có thể giả sử

Ta có:, đặt

Nhận xét: khi thay x và y bởi thì vẫn đảm bảo được: t+t+z=1.

Ta có: .

Bước 2: Ta đi chứng minh .

Ta có: (vì t+t+z=1).

Vậy (điều phải chứng minh).

Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi .

Bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức: .

Đặt .

Giả sử

Ta có

(vì )

hay .

Bước 2: Ta đi chứng minh .

Nhận xét: là tam thức bậc hai theo biến c và có: .

Vậy (điều phải chứng minh). Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

Đặt

Không mất tính tổng quát giả sử .

Bước 1: Ta đi chứng minh . (tức là dồn biến ).

Ta có

Vì ( vì ) nên

hay .

Bước 2: Ta đi chứng minh . Ta có

(đúng)

Vậy (điều phải chứng minh). Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

Đặt

Không mất tính tổng quát giả sử .

Bước 1: Ta đi chứng minh , với .

Ta có và

• 
  Xét , khi đó .
  

• 
  Xét . Khi đó ta sẻ đánh giá trực tiếp mà không cần đồng biến.
  

vì nên . Suy ra .

+ Nếu :

Suy ra .

Vậy tóm lại: .

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi x=-1,y=z=2 và các hoán vị.

Chứng minh rằng: .

Ta có: , đặt

+ Trước tiên ta chứng minh:

(*)

Mặt khác: (**)

Ta sẻ chứng minh là những số không âm.

Giả sử , từ (**) suy ra . Khi đó ta có : .

Suy ra vô lí). Vậy là những số không âm. Suy ra (*) đúng.

Hay

Bây giờ ta đi chứng minh: hay .

Từ suy ra .

(Kvant)