Chuyên đề: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Tổ Toán thpt núi Thành

Ta có: (1)

Nếu dùng Cauchy-Schwarz trực tiếp ta có:

thì đánh giá này khá lỏng lẻo, vì hiển nhiên .

Ta có thể đánh giá chặt hơn như sau:



(2)

Từ (1) và (2) ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về:

Nhận xét (4) không phải luôn đúng. Nhưng ta có thể “ép” nó đúng. Thật vậy:

Và

Ta cũng lần lượt đưa bài toán về cần chứng minh:

Như thế nếu trong (4), (5), (6) có một bất đẳng thức đúng thì bài toán của ta được chúng minh xong.

Ta có:

, do đó trong , , có ít nhất một số không âm. Tức là trong ba bất đẳng thức (4), (5), (6) có ít nhất một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chúng minh. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1.

Để ý rằng: , do đó bất đẳng thức đã cho viết lại:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

Bài toán được quy về chứng minh:

Ta có:

Đánh giá tương tự ta cũng có:

Lập luận như bài toán trước, ta thấy một trong ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ít nhất có một bất đẳng thức đúng. Do đó bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại:

Do , tương tự

Do đó BĐT trên viết lại:

Ta cần chứng minh

Đánh giá tương tự ta được:

Lập luận như bài toán trước, ta thấy một trong ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ít nhất có một bất đẳng thức đúng. Do đó bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .

Cho ba số a,b,c dương thỏa điều kiện . Chứng ming rằng:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

Tương tự ,

Suy ra



Bài tập 4: Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng ming rằng:



Bài tập 5: Cho ba số thực dương x,y,z là các số thực dương thỏa xyz=1.

Chứng minh rằng

Không mất tính tổng quát giả sử : .

-Nếu thì và .

-Nếu thì b>m và c>m .

(điều phải chứng minh).

Bổ đề 2: Nếuhoặc thì ta có:

( dễ dàng được suy ra từ BĐT: )

Chứng minh rằng: .

*Ta đi chứng minh: .

-Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a và b thoả: “Trong 3 số a, b và c bất kỳ luôn tồn tại hai số mà cùng lớn hơn hoặc bằng m hay cùng nhỏ hơn hoặc bằng m ( với m là số thực tuỳ ý)”. khi đó ta có: hoặc

-Mặt khác ta có:

.

Suy ra:

Khi đó theo Bổ đề 2 ta có:

Ta đi chứng minh (1)

Từ (*) ta có: .

Mặt khác (**)

Xem (**) là phương trình là bậc hai theo biến c.

Phương trình (**) có hai nghiệm;

Vì nên

Do đó (1)

( vì nên )

(đúng). Suy ra điều phải chứng minh.

-Cách3:

-Từ giả thiết, dễ dàng chứng minh được tồn tại ba số không âm x, y ,z sao cho: (x+y)(y+z)(z+x)>0 và:

-Bài toán đưa về chứng minh:

Thay vào được điều cần chứng minh.

Chứng minh rằng: .

-Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a và b thoả: “Trong 3 số a,b và c bất kỳ luôn tồn tại hai số mà cùng lớn hơn hoặc bằng m hay cùng nhỏ hơn hoặc bằng m ( với m là số thực tuỳ ý)”., khi đó ta có: hoặc

Mặt khác ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

-Từ giả thiết, dễ dàng chứng minh được tồn tại ba số không âm x, y ,z sao cho: (x+y)(y+z)(z+x)>0 và:

-Bai toán đưa về chứng minh:

=...=.

Không mất tính tổng quát giả sử: hoặc . Suy ra

Ta có:

Từ đó suy ra được điều cần chứng minh.

Chứng minh rằng ta luôn có

Đây là một phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN-GTNN của hàm số và biểu thức nhiều biến.

Để sử dụng phương pháp này ta thường tiến hành như sau:

- Với mỗi bất đẳng thức (biểu thức) ta chọn một hàm số thích hợp (các hàm số này thường có thể thấy ngay từ đầu bài, hoặc sau một vài phép biến đổi đơn giản sẻ tìm được nó).

- Khảo sát chiều biến thiên hàm số vừa tìm được trên miền xác định của nó (miền xác định này được tìm thấy dựa vào điều kiện của đầu bài). Thông thường ta sử dụng đạo hàm để lập ra bảng biến thiên.

- Từ bước hai sẻ cho ta lời giải của phép chứng minh bất đẳng thức, hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, biểu thức nhiều biến.

Cho các số thực x, y, z là các số thực phân biệt và không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của

+ Hầu hết bất đẳng thức đối xứng ba biến thì đẳng thức chỉ xảy ra khi ít nhất hai biến bằng nhau hoặc ít nhất một biến bằng 0.

+ Đối với bài toán này thì không thể xảy ra ít nhất hai biến bằng nhau.

<sub>-Đặt z=min{x,y,z}. Khi đó ta có :



-Ta có :</sub>

đặt ,t>0

Xét . Lập bảng biến thiên tìm được khi

Vậy khi , z=0 và các hoán vị.

Hơn nữa .

Thật vậy: (đúng)

Do đó (1)

Đặt u=(x-y)² và v=(y-z)(x-z) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra :

Đặt . Xét

Lập BBT suy ra

Vậy (và các hoán vị)

+ Hầu hết bất đẳng thức đối xứng ba biến thì đẳng thức chỉ xảy ra khi ít nhất hai biến bằng nhau hoặc ít nhất một biến bằng 0.

+ Đối với bài toán này thì không thể xảy ra ít nhất hai biến bằng nhau. Giả sử ta cho : y=0, x và z khác 0. Khí đó ta có :

Nhận xét : _{. Thật vậy , dấu “=” xảy ra khi x=-z.}

Không mất tính tổng quát giả sử x>y>z.

Đặt a=x-y, b=y-z, z-x=-(a+b) (a,b>0).

Dấu « = » xảy ra khi :

Suy ra

Đặt t=a+b+c+1,t>1. Khi đó ta có:.

Xét ,.,

Lập bảng biến thiên suy ra được: khi .

Bài 3: Cho 3 số thực x,y,z >0 thoả .Tìm GTNN của biểu thức