KỲ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năM 2006

Môn thi: TOÁN – trung học phổ thông không phân ban

1. 
   Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x³ – 6x² +9x
   
2. 
   Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C)
   
3. 
   Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng y = x + m² – m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C)
   

1. 
   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e^x , y = 2 và đường thẳng x = 1.
   
2. 
   Tính tích phân I
   

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hyperbol (H) có phương trình

1. 
   Tìm tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, và viết phương trình các đường tiệm cận của (H).
   
2. 
   Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) biết các tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;1)
   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

1. 
   Viết phương trình đường thẳng OG
   
2. 
   Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C
   
3. 
   Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S).
   

Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển nhị thức Niuton của biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024.

* y' = 3x² – 12x + 9; y' = 0 

* y'' = 6x – 12 ; y'' = 0  x = 2  y = 2. Điểm uốn I(2; 2).

Bảng lồi lõm:

* =  ∞

y' = 3x² – 12x + 9  y'(2) = –3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn:

y – 2 = y'(2)(x – 2)  y = –3x + 8.

Trung điểm của AB là I(2, 2).

Đường thẳng y = x + m² – m qua I  2 = 2 + m² – m  m = 0 hoặc m = 1.

Câu 2:

1.

Diện tích hình phẳng cần tìm:

2.

Đặt ;

* Tọa độ tiêu điểm: F₁(–3, 0); F₁(3, 0). * Tọa độ các đỉnh: A₁(–2, 0), A₂(2, 0).

* Phương trình tiệm cận: y =  x.

2) Gọi (d) là tiếp tuyến của (H) cần tìm.

Cách 1:

* (d) qua M(2, 1)  (d): A(x – 2) + B(y – 1) = 0  (d): Ax + By – 2A – B = 0 (A² + B²  0)

* (d) tiếp xúc (H)  4A² – 5B² = (2A + B)² > 0

 6B² + 4AB = 0 (B  –2A)  B = 0 hay B = – (A0).

Với B = 0, chọn A = 1  (d): x – 2 = 0.

Với B = –, chọn A = 3  B = –2  (d): 3x – 2y – 4 = 0.

Kết luận: Có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là x – 2 = 0, 3x – 2y – 4 = 0.

Cách 2:

* (d) vuông góc Ox và qua M  (d): x – 2 = 0.

(d) tiếp xúc (H)  1².4 – 0.5 = (–2)² (đúng). Vậy (d): x – 2 = 0 là một tiếp tuyến của (H), qua M.

* (d) không vuông góc Ox  (d): y – 1 = k(x – 2)  (d): kx – y +1 – 2k = 0.

(d) tiếp xúc (H)  4k² – 5 = (1 – 2k)² > 0  k = .

Vậy (d): 3x – 2y – 4 = 0.

Kết luận: Có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là x – 2 = 0, 3x – 2y – 4 = 0.

Câu 4:

1.

Đường thẳng OG qua O(0;0;0) và có vectơ chỉ phương

Suy ra phương trình đường thẳng OG:

2. Mặt cầu (S) có phương trình dạng:

(S) qua

Vậy (S) :

3. (S) có tâm I(1;1;0), bán kính

Gọi P là mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc (S) ,P có vectơ pháp tuyến là

Suy ra phương trình P có dạng P: x+2y+m=0

P tiếp xúc (S)

Vậy P: hay P:

Câu 5:

Theo giả thiết :