I. Nguyên lý đếm I nguyên lý cộng
tải về 1.16 Mb.
|
- Điều hướng trang này:
- CHƯƠNG 4. LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG I. Lu ậ t phân ph ố i nh ị th ứ c
- Ví d ụ 1. Cho XB(2, 0,3). Hãy lập bảng phân phối xác suất của X. Giải
- I.3.Các đặc trưng của phân phối nhị thức.
- II.Luật phân phối siêu bội. II.1.Định nghĩa phân phối siêu bội
- Ví d ụ 3. Cho XH(7, 3,5). Hãy lập bảng phân phối xác suất của X. Giải
- III.Luật phân phối Poisson. III.1.Định nghĩa phân phối Poisson.
- III.2.Các đ ặ c tr ư ng c ủ a phân ph ố i Poisson
- IV.Luật phân phối chuẩn. IV.1.Định nghĩa phân phối chuẩn.
- IV.2.Công thức tính xác suất trên 1 khoảng của phân phối chuẩn.
- Chú ý
- Giải
- V.Luật phân phối khi bình phương.
- Ví d ụ 9.
- VI.Luật phân phối Student
- Ví d ụ 10.
- Ví d ụ 11.
- VII.Các định lý giới hạn.
- Ví d ụ 12.
- Ví d ụ 14.
- Ví d ụ 15.
- Ví d ụ 16.
- BÀI TẬP 4.1
3.2 Một doanh nghiệp vận tải có 3 xe ôtô hoạt động độc lập,xác suất các ôtô bị hỏng trong 1 ngày lần lượt là 0,3; 0,4;0,2 .Lập bảng phân phối xác suất của số ôtô bị hỏng trong 1 ngày, tính số ôtô bị hỏng trong 1 ngày. 3.3 Cho biến ngẫu nhiên X chỉ nhận 3 giá trị 0 1 và 2 .Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, biết rằng E(X)=0,6 E( ) = 0,8 . 3.4 Hộp I có 5 sản phẩm tốt, 6 sản phẩm xấu. Hộp II có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. a)Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ra 1 sản phẩm và từ hộp II ra 2 sản phẩm.Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra. b) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi lấy ra 3 sản phẩm.Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra. c) Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ra 1 sản phẩm bỏ vaò hộp II sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy từ hộp II.
a)Hãy lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm đem trưng bày. b)Sau khi đem 4 sản phẩm đi trưng bày người ta bỏ chung các sản phẩm ở 2 kiện vào 1 chiếc hộp, rồi 1 khách hàng lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm để mua. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm khách mua.
p(x) = Tìm k và tính tỷ lệ côn trùng thọ từ 1 đến 2 tháng tuổi.
p(x) =
CHƯƠNG 4. LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG I. Luật phân phối nhị thức. I.1. Dãy phép thử Bernoulli Dãy n phép thử Bernoulli là dãy phép thử thỏa 3 điều kiện: -Các phép thử độc lập. - Trong mỗi phép thử hoặc A xảy ra hoặc xảy ra. - Xác suất P(A) = p (cố định) trong mỗi phép thử.
Cho 1 dãy phép thử Bernoulli. Gọi X là số lần A xảy ra trong n phép thử. Khi đó X nhận các giá trị 0,1,2,…,n với P(X=k) = , k =0,1,…,n (q=1-p). Người ta gọi những biến X này là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức. Ký hiệu X~B(n,p). Ví dụ 1.Cho X~B(2, 0,3). Hãy lập bảng phân phối xác suất của X. Giải X nhận các giá trị 0,1,2. P(X=0) = = 0,49, P(X=1) = = 0,42 P(X=2) = = 0,09 X 0 1 2 p 0,49 0,42 0,09
Cho biến ngẫu nhiên X~B(n,p) Khi đó E(X) = np, D(X) = npq Ví dụ 2.Xác suất bán được hàng ở mỗi địa điểm của một nhân viên là 0,3. a)Giả sử trong 1 tháng nhân viên này bán hàng ở 3 địa điểm độc lập nhau. Lập bảng phân phối của số địa điểm bán được hàng trong tháng của nhân viên này. b) Giả sử trong 1 năm nhân viên này bán hàng ở 40 địa điểm địa điểm độc lập nhau .Tính số địa điểm bán được hàng trung bình trong 1 năm của nhân viên này.
a) Gọi X là số địa điểm bán được hàng trong tháng của nhân viên này. Ta có X~B(3, 0,3) X nhận các giá trị 0,1,2,3. P(X=0) = = 0,343, P(X=1) = = 0,441 P(X=2) = = 0,189,P(X= 3) = = 0,027 X 0 1 2 3p 0,343 0,441 0,189 0,027 b) Gọi Y là số địa điểm bán được hàng trong 1 năm của nhân viên này. Ta có Y~B(40, 0,3).Do đó E(Y)=np=40.0,3=12
Cho 1 tập hợp gồm M phần tử trong đó có phần tử có tính chất A và M- phần tử không có tính chất A. Lấy ngẫu nhiên từ tập hợp này ra N phân tử. Gọi X là số phần tử có tính chất A trong N phần tử lấy ra. Khi đó X có thể nhận các giá trị 0,1,…,N với P(X = k) = và người ta gọi những biến X như vậy là biến ngẫu nhiên có luật phân phối siệu bội. Ký hiệu X~ H(M, ,N). Chú ý trong công thức xác suất trên ta cần các điều kiện cho các tổ hợp, cụ thể là: , do đó biến X chỉ nhận những giá trị k thoả max{0, N+ -M} k min{N, }. Ví dụ 3.Cho X~H(7, 3,5). Hãy lập bảng phân phối xác suất của X. Giải Ta có max{0, N+ -M}= {0,1}=1 và min{N, }={5,3} = 3 nên X nhận các giá trị 1, 2, 3. P(X= 1) = , P(X= 2) = , P(X= 3) = X 1 2 3 p
Cho biến ngẫu nhiên X~ H(M, ,N). Khi đó E(X) = , D(X) = .
Giải a)Gọi X số giấy thông báo thuế có sai sót trong 5 giấy được kiểm tra. Ta có X~H(7,4,5) và max{0, N+ -M}= {0,2}=2 và min{N, }={4,5} = 4 nên X nhận các giá tri 2,3,4. P(X=2) = ,P(X=3) = ,P(X=4) =
D(X) = = = Nhận xét Trong các bài toán, phân phối nhị thức và phân phối siêu bội ít khi được cho trước, mà đòi hỏi chúng ta phải dựa vào mô hình của định nghĩa để nhận biết. Muốn nhận biết được phân phối nhị thức thì trước hết phải nhận biết được dãy phép thử Bernoulli, tức n lần thực hiện; còn gắn với siêu bội thì chỉ một lần thực hiện(lấy theo nghĩa tổ hợp).Để thấy rõ điều này bạn đọc xem ví dụ sau: Ví dụ 5. Một lô hàng có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu.
Giải Gọi X là số tốt trong 3 sản phẩm lấy ra a) Ở đây ta có 1 tập hợp ban đầu gồm 10 phần tử đó là 10 sản phẩm của lô hàng, lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm nghĩa là lấy từ tập hợp này ra 3 phần tử. Ta thấy X chính là số phần tử có tính chất A trong 3 phần tử lấy ra, với tính chất A là sản phẩm tốt.Nên theo định nghĩa cuả mô hình phân phối siêu bội ta có X~H(10, 6, 3). Dễ thấy max{0, N+ -M}= {0,-1}=0 và min{N, }={3,6} = 3 Nên X nhận các giá tri 0,1,2,3 P(X=0) = ,P(X=1) = P(X=2) = ,P(X=3) = X 0 1 2 3P b) Bây giờ ta không lấy cùng 1 lúc mà lấy lần lượt từng sản phẩm và có hoàn lại ra 3 sản phẩm, do đó ta coi như có 1 phép thử đó là lấy từ lô hàng ra 1 sản phẩm và lập lại phép thử này 3 lần độc lập. Trong mỗi phép thử hoặc được sản phẩm tốt hoặc được sản phẩm xấu nên trong mỗi phép thử hoặc A xảy ra hoặc xảy ra với A= “đuợc sản phẩm tốt” và P(A) = 0,6.Vậy X chính là số lần biến cố A xảy ra trong 3 phép thử lập lại. Theo định nghĩa của mô hình phân phối nhị thức ta có X~B(3, 0,6) X nhận các giá trị 0,1,2,3. P(X=0) = = 0,064, P(X=1) = = 0,288 P(X=2) = = 0,432, P(X= 3) = = 0,216 X 0 1 2 3P 0,064 0,288 0,432 0,216
Biến ngẫu nhiên X nhận vô hạn đếm được những giá trị nguyên không âm 0,1,2,…,n,… với P(X=k) = ( là hằng số dương) được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson.Ký hiệu X~P( ) III.2.Các đặc trưng của phân phối Poisson. Cho X~ P( ). Khi đó E(X) = D(X) = Ví dụ 6.Tại 1 trạm kiểm soát giao thông trung bình trong 30 giây có 1 xe ô tô qua trạm. Biết số xe ô tô qua trạm có phân phối Poisson.
Giải a)Gọi X là số xe ô tô qua trạm trong 4 phút. Vì trung bình trong 30 giây có 1 xe qua trạm trung bình trong 2 phút có 1.4= 4 xe qua trạm = E(X) = 4 X~P(4) P( X = 5) = b) Gọi Y là số xe ô tô qua trạm trong 1 phút. Lập luận như câu a) ta có Y ~P(2) P(3 ) = 1- P(0 ) = 1- P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2) IV.Luật phân phối chuẩn. IV.1.Định nghĩa phân phối chuẩn. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ p(x) = trong đó a, là hằng số, > 0 được gọi là biến ngẫu có phân phối chuẩn. Ký hiệu X ~ N(a, IV.2.Công thức tính xác suất trên 1 khoảng của phân phối chuẩn. P( = - ; P( =0,5- Trong đó (x) là hàm LAPLACE được định nghĩa như sau: (x)= Giá trị hàm LAPLACE tra ở bảng hàm LAPLACE, chẳng hạn (0,21)= 0,0793(lấy giá trị trên dòng 0,2 cột 3) Chú ý: Đối với biến ngẫu nhiên liên tục P(X= k) = 0 do đó P( =P( =P( =P( Ví dụ 7.Thời gian đợi phục(phút) của một khách hàng tại 1 ngân hàng là biến ngẫu nhiên X có phân phối: X~N( 6; 0,25). Tính tỷ lệ khách hàng đợi từ 4,8 đến 6,4 phút để được phục vụ. Giải P(4,8< X< 6,4) = ( )- ( )= (0,8)- (-2,4) =0,28814+0,4918=0,77994
Cho X ~ N(a, .Khi đó E(X) = a , D(X) = Ví dụ 8. Lãi suất đầu tư vào 2 thị trường A và B là 2 biến ngẫu có phân phối chuẩn với trung bình là 10% và 9%; độ lệch chuẩn là 4% và 3% a)Nếu muốn có lãi suất trên 8% thì nên đầu tư vào thị trường nào? b)Nếu muốn rủi ro về lãi suất nhỏ thì nên đầu tư vào dự án nào?
a)Gọi X là lãi suất khi đầu tư vào dự án A, Y là lãi suất khi đầu tư vào dự án B. Ta có X~N(10,16); Y~N(9,9) Xác suất được lãi suất trên 8% khi đầu tư vào dự án A: P(X>8)=0,5- =0,5- =0,6915 Xác suất được lãi suất trên 8% khi đầu tư vào dự án B: P(Y>8)=0,5- =0,5- =0,6293 Vậy nên đầu tư vào thị trường A. b)Độ rủi ro về lãi suất khi đầu tư vào thị trường A :D(X)= 16 Độ rủi ro về lãi suất khi đầu tư vào thị trường B :D(Y)= 9 Vậy để rủi ro về lãi suất bé thì đầu tư vào dự án B.
Cho là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân chuẩn N(0,1) Biến ngẫu nhiên X = được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối khi bình phương với bậc tự do n được ký hiệu X~ . Với xác suất ta có thể tra bảng phân vị khi bình phương và xác định được giá trị sao cho P(X< )= Ví dụ 9. Cho biến ngẫu nhiên X~ . a)Tính P(X>1,239) b) Tìm t sao cho P(X< t) = 0,95
a) Từ bảng phân vị trên dòng 7, ta thấy giá trị 1,239 tương ứng với cột 0,01.Vậy P(X>1,239)= 0,01. b) Từ bảng phân vị trên dòng 7, cột 0,95 ta có t = 14,0671.
Cho các biến ngẫu nhiên Z~N(0,1) và Y~ .Biến ngẫu nhiên X = được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối Student với bậc tự do n và được ký hiệu X~ . Với xác suất ta có thể tra bảng phân vị Student và xác định được giá trị sao cho P(X> )=
a)P(X> t) = 0,025 b) P(X< t) = 0,99
a)Từ bảng phân vị Student dòng 15 cột 0,025 ta có t = 2,1315 b)P(X< t) = 0,99 1- P(X t)=0,99 P(X t)=0,01 P(X> t)=0,01 tương tự như trên ta có t =2,6025 Ví dụ 11.Cho biến ngẫu nhiên X ~ .Tính P(X>2,3069),P(X<1,974) Từ bảng phân vị Student ứng với bậc tự do 24(dòng 24) ta thấy 2,3069 nằm trên cột 0,015 P(X>2,3069)=0,015 P(X<1,974)=1- P(X>1,974)=1-0,03=0,97
●Cho X~B(n;p). *Nếu n khá lớn và p khá bé(n>30, p<0,1) thì X P( =np) *Nếu n khá lớn và p không quá bé cũng không quá lớn (np>5, nq>5) thì X≈N(a= np; =npq) và
Ví dụ 12.Xác suất một chai CoCa bị vỡ khi vận chuyển là 0,002. Người ta vận chuyển 1000 chai.
Giải Gọi X là số chai CoCa bị vỡ trong 1000 chai vận chuyển. X~ B(1000;0,002) Vì n=1000 khá lớn và p khá bé nên X P(2) a)P(X=4)= 0,09 b)P(X 3) = 1- P(0 )= 1- Ví dụ 13.Một máy sản xuất sản phẩm với xác suất đuợc sản phẩm tốt là 0,2.Cho máy sản xuất ra 100 sản phẩm. a) Tính xác suất có 40 sản phẩm tốt. b)Tính xác suất có ít nhất 25 sản phẩm tốt.
Gọi X là số sản phẩm tốt trong 100 sản phẩm do máy sản xuất Ta có X~B(100,0,2) Vì np=20>5,nq=80>5 nên X N(20,16) nên
Ví dụ 14.Tỷ lệ phân ly về màu hoa ở đời F2 của một loại đậu như sau: Đỏ: Hồng: Trắng = 4: 9: 3 a) Giả sử đem gieo 300 hạt đời F2 (tỷ lệ thành công 100%). Tính xác suất để có từ 60 đến 80 hạt cho hoa màu đỏ. b) Giả sử đem gieo 8 hạt đời F2 (tỷ lệ thành công 100%). Tính xác suất để có 5 hạt cho hoa màu đỏ và nhiều nhất 2 hạt cho hoa màu hồng. Giải a)Gọi X là số hạt cho hoa màu đỏ trong 300 hạt được gieo. Ta có X ~ B(300,1/4). Vì np=75>5, nq=225 > 5 nên X N(75;56,25) P(60 Ф Ф =Ф Ф =0,7528 b)+Xác suất được 5 hạt cho hoa màu đỏ,0 hạt cho hoa màu hồng, 3 hạt cho hoa màu trắng:
+Xác suất được 5 hạt cho hoa màu đỏ,1 hạt cho hoa màu hồng, 2 hạt cho hoa màu trắng: = =0,0032 +Xác suất được 5 hạt cho hoa màu đỏ,2 hạt cho hoa màu hồng, 1 hạt cho hoa màu trắng: = =0,0097 Xác suất được 5 hạt cho hoa màu đỏ,không quá 2 hạt cho hoa màu hồng: p = + + =0,01326
Giải Gọi A = “ kiện hàng được nhận” Ta có P(A)= =0,264 Ta coi kiểm tra 1 kiện hàng là 1 phép thử, như vậy kiểm tra 120 kiện hàng chính là lập lại phép thử này 120 lần, trong mỗi phép thử hoặc A xảy ra hoặc xảy ra. Nếu gọi X là số kiện hàng được nhận trong 120 kiện kiểm tra thì X~B(120;0,264) Vì n khá lớn và p không quá bé cũng không quá lớn nên X N(31,68;23,316) a)P(X=30)= = =0,207 =0,207.0,3765=0,0779 b) P(30 = - = - = 0,5+ 0,1331=0,6331 Ví dụ 16.Tuổi thọ của một con chip máy tính là một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ p(x) = .Con chip được gọi là loại I nếu có tuổi thọ trên 1 năm. Một mạng máy tính gồm 100 chíp hoạt động độc lập.Mạng sẽ hoạt động tốt khi có ít nhất 30 chíp loại I.Tính xác suất mạng này hoạt động. Giải Gọi X tuổi thọ của một chip máy tính. Xác suất được chip loại I: P(X>1)= = = =0,152 Gọi Y là số chip hoạt động tốt trong mạng. Ta có Y~B(90;0,152) Vì n khá lớn và p không quá bé cũng không quá lớn nên Y~N(13,68;11,6) Xác suất mạng hoạt động P(30 )= ( )- ( )= (22,4)- (4,79)=0,5-0,4999991=0,0000009
a)Hãy lập bảng phân phối xác suất của X b)Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X.
Dùng máy này phân loại 3 bì thư, hãy xác định luật phân phối xác suất của số bì thư bị phân loại sai trong 3 bì thư đó . 4.4Số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút là biến ngẫu nhiên có phân phối Poision.Biết rằng trung bình trong 1 phút có 9 cuộc gọi đến tổng đài Tính xác suất có không quá 2 cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút. 4.5 Xác suất để 1 sản phẩm bị hỏng là 0,3.Kiểm tra 3600 sản phẩm.Tính xác suất để số sản phẩm hỏng từ 342 đến 378 4.6 Trọng lượng của 1 sản phẩm(đơn vị: gam) do 1 máy sản xuất là biến ngẫu nhiên X với X~N(100,2).Sản phẩm được coi là đạt kĩ thuật nếu có trọng lượng từ 98 đến 103gam. a)Tìm tỷ lệ sản phẩm không đạt kĩ thuật của máy. b) Cho máy sản suất 100 sản phẩm. Tính xác suất có không qúa 15 sản phẩm không đạt kĩ thuật trong 100 sản phẩm này.
Tròn: Dẹp: Dài = 6: 1: 9 a) Giả sử đem gieo 400 hạt đời F2(tỷ lệ nẩy mầm 100%). Tính xác suất để có từ 140 đến 170 hạt cho dưa trái tròn. b) Giả sử đem gieo 9 hạt đời F2(tỷ lệ nẩy mầm 100%). Tính xác suất để có 6 hạt cho trái tròn, không quá 2 hạt cho trái dẹp. Каталог: data -> dainghia data -> PHỤ LỤC 2 TỔng hợp danh mục tài liệu tham khảO data -> Công ty cổ phần Xây dựng Điện vneco3 data -> Nghiên cứu một số đặc điểm data -> NHỮng đÓng góp mới của luậN Án tiến sĩ CẤP ĐẠi học huế Họ và tên ncs : Nguyễn Văn Tuấn data -> Mẫu 01/hc-sn-dn (Ban hành kèm theo Thông tư số 83/2007/tt-btc ngày 16/7/2007 của Bộ Tài chính) TỜ khai hiện trạng sử DỤng nhà, ĐẤt thuộc sở HỮu nhà NƯỚc và ĐỀ xuất phưƠng án xử LÝ dainghia -> *P(A+B)= P(A)+P(B)=2/7 + 5/7=1 (0,5Đ) *P(A+C)= P(A)+P dainghia -> D V=R,K=R vaø hai pheùp toaùn coäng nhaân thoâng thöôøng tải về 1.16 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|