I. Nguyên lý đếm I nguyên lý cộng
tải về 1.16 Mb.
|
- Điều hướng trang này:
- Ví d ụ 13.
- BÀI TẬP 2.1.
- I.2.Phân loại biến ngẫu nhiên.
- II. Lu ậ t phân ph ố i xác su ấ t
- II.1.Luật phân phối xác suất của biến rời rạc.
- II.2.Lu ậ t phân ph ố i xác su ấ t c ủ a bi ế n ng ẫ u nhiên liên t ụ c.
- Ví d ụ 4.
- V.Đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
- Ví d ụ 7.
- Ví d ụ 8.
- Ví d ụ 10.
- BÀI TẬP 3.1
Cách khác. Ta cũng thấy xác suất của A phụ thuộc vào 3 quả cầu lấy từ hộp III là quả cầu của hộp nào(cuả hộp này xác suất sẽ khác so với quả cuả hộp khác ) và với cách phân tích này ta có thể tính xác suất của A dựa vào nhóm biến cố đầy đủ: = “có 3 quả của hộp III trong 3 quả lấy từ hộp III” , = “có 2 quả của hộp III, 1 quả hộp II trong 3 quả lấy từ hộp III”, = “có 2 quả của hộp III, 1 quả hộp I trong 3 quả lấy từ hộp III”, P(A) = P( ).P(A/ + P( ).P(A/ +P( ).P(A/ = + . + = + + = Ví dụ 13. Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Có 2 người khách mỗi người lần lượt lấy từ lô ra 1 sản phẩm để mua.
Giải a)Phép thử của bài toán gồm 2 bước. Bước 1 khách hàng thứ nhất lấy mua 1 sản phẩm. Bước 2 khách hàng 2 lấy mua một sản phẩm. Ta thấy biến cố cần tính xác suất A = “ khách hàng thứ hai mua được sản phẩm tốt”. phụ thuộc vào nhóm biến cố đầy đủ: B = “khách hàng thứ nhất mua được sản phẩm tốt”, = “khách hàng thứ nhất mua được sản phẩm xấu”. Do đó theo công thức xác suất toàn phần P(A)= P(B) P(A/B)+ P( )P(A/ ) = b)Theo yêu cầu ta cần tính P(B/A).Áp dụng công thức Bayes P(B/A)= = 3/8
2.2 Một doanh nhân đầu tư vào 2 dự án.Khả năng gặp rủi ro khi đầu tư các dự án I, II tương ứng là 9%, 7% và gặp rủi ro đồng thời khi đầu tư vào cả 2 dự án là 4%. Tính xác suất ít nhất 1 dự án gặp rủi ro. 2.3 Ba công ty A, B, C kinh doanh độc lập.Xác suất công ty A, B,C bị thua lỗ trong 1 năm lần lượt là 0,2; 0,4;0,7. Tính xác suất:
2.4 Tỷ lệ phế phẩm của 1 máy là 5%.Tính xác suất trong 10 sản phẩm do máy sản xuất có không quá 1 phế phẩm. 2.5 Một lô hàng có 6 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Nhân viên cửa hàng lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm đem trưng bày, sau đó một khách hàng chọn mua 3 sản phẩm từ lô hàng. a) Tính xác suất khách hàng mua đuợc 2 sản phẩm tốt,1 xấu. b) Nếu khách hàng mua được2 sản phẩm tốt,1 xấu. tính xác suất 2 sản phẩm nhân viên đem trưng bày có 1 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu.
a)Tính xác suất được phế phẩm b) Biết rằng được phế phẩm,tính xác suất phế phẩm đó là của máy A.
Ta biết một biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Các biến cố đó có thể biểu hiện về mặt định tính như: được mặt sấp, được sản phẩm tốt … và cũng có thể biểu hiện về mặt định lương như: được nút 6, được sản phẩm 7 kg… .Trong thực tế nhiều vấn đề ta quan tâm đến những biến cố thể hiện về mặt lượng chẳng hạn khi tung con xúc xắc ta quan tâm xúc xắc được nút gì, lấy 1 sản phẩm từ lô hàng ta quan tâm xem được sản phẩm bao nhiêu kg,… và từ đó ta đưa ra khái niệm biến ngẫu nhiên.Nói cách khác biến ngẫu nhiên là những đại lượng nhận giá trị này hay giá trị khác ở những lần thử khác nhau mà ta không khẳng định được trước khi thực hiện phép thử ( còn tùy thuộc vào biến cố nào sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử) I.2.Phân loại biến ngẫu nhiên. Dựa vào giá trị của biến ngẫu nhiên ta chia biến ngẫu nhiên ra làm 2 loại: -Biến ngẫu nhiên rời rạc: là loại biến ngẫu nhiên nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị cách quãng nhau chẳng hạn như số sản phẩm tốt trong n sản phẩm lấy từ lô hàng, số khách hàng đến cửa hàng trong 1 ngày… -Biến ngẫu nhiên liên tục: là loại mà giá trị của nó lấp kín một đoạn số nào đó như trong lượng của sản phẩm do máy sản suất,doanh thu của doanh ngiệp trong 1 năm... II. Luật phân phối xác suất. Luật phân phối xác suất đó là cách biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng của các giá trị đó. II.1.Luật phân phối xác suất của biến rời rạc. Trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc luật phân phối được diễn ta thông qua bảng phân phối xác suất như sau: X …. p Trong đó < < …. < là các giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận và i=1,2,…n. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì P(a Ví dụ 1.Một chiếc hộp có 10 quả cầu trong đó có 4 quả cầu đỏ 6 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 2 quả. Gọi X là số quả đỏ trong 2 quả lấy ra. a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, b) Tính P(-0,2 < X < 1,7).
a)X nhận các giá trị : 0, 1,2 . P(X= 0) = , P(X= 1) = ,P(X= 2) = Bảng phân phối xác suất của X X 0 1 2 P b) P(-0,2 < X < 1,7)= P(X=0)+ P(X=0)= + =
a)Xác định luật phân phối xác suất của số máy hỏng trong một ca làm việc. b)Tính xác suất có ít nhất một máy hỏng một ca làm việc.
a)Gọi X là số máy hỏng trong một ca làm việc. Ta có X nhận các giá trị 0,1,2,3. Gọi = “là biến cố máy thứ i bị hỏng trong một ca làm việc” ( i =1,2,3) = “là biến cố máy thứ i không bị hỏng trong một ca làm việc” ( i =1,2,3) Ta có P( ) = 0,1, P( ) = 0,25, P( ) = 0,4 P( )= 0,9, P( )= 0,75, P( )= 0,6 (X= 0) = “Cả 3 máy đều hoạt động tốt”= . P(X=0) =P( ) = P( )P( )P( )=0,9.0,75.0,6=0,405 P(X=1)=P( )P( )P( )+P( )P( )P( )+P( )P( )P( ) = 0,1.0,75.0,6+0,9.0,25.0,6+0,9.0,75.0,4=0,45 P(X=2)=P( )P( )P( )+P( )P( )P( )+P( )P( )P( = 0,1.0,25.0,6+0,1.0,75.0,4+0,1.0,25.0,4=0,055 P(X=3) =P( ) = P( )P( )P( ) = 0,1.0,25.0,4=0.01 X 0 1 2 3p 0,405 0,45 0,055 0,01b)P(X≥1) = 1-P(X=0)=1- 0,405=0,595
Hộp II có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. a)Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm.Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra. b) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi lấy ra 2 sản phẩm.Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra. c) Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ra 1 sản phẩm bỏ vaò hộp II sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy từ hộp II.
a) Gọi X là số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra = “sản phẩm lấy từ hộp I là tốt” = “sản phẩm lấy từ hộp II là tốt” X nhận các giá trị: 0, 1, 2. P(X=0) = P( ).P( )= P(X=1) = P( ).P( )+P( )P( ). = + = P(X=2)= P( )P( )= X 0 1 2 P b) Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra.
Y nhận các giá trị: 0, 1, 2. P(Y=0) = P( ).P(Y=0/ )+ P( ).P(Y=0/ )= + = P(Y=1) = P( ).P(Y=1/ )+ P( ).P(Y=1/ )= + = P(Y=2) = P( ).P(Y=2/ )+ P( ).P(Y=2/ )= + = Y 0 1 2 p c) Gọi Z là số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy ra = “ Sản phẩm lấy từ hộp I bỏ vào hộp II là tốt” =“ Sản phẩm lấy từ hộp I bỏ vào hộp II là xấu” P(Z=0) = P( ).P(Z=0/ )+ P( ).P(Z=0/ )= + = P(Z=1) = P( ).P(Z=1/ )+ P( ).P(Z=1/ )= + = P(Z=2) = P( ).P(Z=2/ )+ P( ).P(Z=2/ )= + = Z 0 1 2 p II.2.Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục. Trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục ta không thể dung bảng phân phối xác suất để thể hiện luật phân phối xác suất( các bạn hãy nghĩ xem tại sao?) mà ta phải dung hàm mật độ. Hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục X ký hiệu là p(x) và đó là 1 hàm số thoả các điều kiên sau: - p(x) ≥ 0 -P(a -
p(x) = a) Xác định k. b) Tính xác suất công ty có doanh thu duới 73 triệu đồng Giải a)Theo tính chất của hàm mật độ: + + =1 ( )+ + =1 0 + k + 0=1 k=1/750 b) P(X<73) = = + = 0,286 III Hàm phân phối Hàm số F(x) xác định như sau: F(x) = P(X< x) được gọi là là hàm phân phối cuả biến ngẫu nhiên X. Như vậy với 1 số thực x giá trị của hàm phân phối tại x chính là xác suất mà biến ngẫu nhiên X nhận giá trị bên trái điểm đó ( các bạn chú ý ở đây x là biến số của hàm phân phối chứ không nhất thiết là giá trị của X). Như vậy cả 2 loại biến ngẫu nhiên đều có khái niệm hàm phân phối. ●Với biến ngẫu nhiên rời rạc: F(x) = P(X< x) = R ●Với biến ngẫu nhiên liên tục F(x) = P(X< x) = R Từ định nghĩa hàm phân phối ta có P(a X a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, xác định hàm phân phối của X. b) Tính P(0,2 < X < 2,7).
a)X nhận các giá trị : 0, 1,2 3. P(X= 0) = , P(X= 1) = P(X= 2) = ,P(X= 3) = Bảng phân phối xác suất của X X 0 1 2 3P Ta có F(x) = P(X< x) = . Để xác định giá trị F(x) ta cần tính P(X< x) mà xác suất này sẽ phụ thuộc vào x nằm ở đâu so với các giá trị cuả biến ngẫu nhiên X.Vì vậy: ●Với một x nào đó nhỏ hơn hoặc bằng 0 (giá trị nhỏ nhất của X) ta thấy biến ngẫu nhiên X không nhận giá trị nào trong khoảng (- ,x) nên P(X ●Với một x nào đó lớn hơn 0 nhỏ hơn hoặc bằng 1 ta thấy biến ngẫu nhiên X chỉ nhận một giá tri khoảng (- ,x) là 0 nên P(X ●Với một x nào đó lớn hơn 1 nhỏ hơn hoặc bằng 2 ta thấy biến ngẫu nhiên X nhận 2 giá tri khoảng (- ,x) là: 0, 1 nên P(X Do đó F(x) = 50/84 1 ●Với một x nào đó lớn hơn 2 nhỏ hơn hoặc bằng 3 ta thấy biến ngẫu nhiên X nhận 3 giá trị trong khoảng (- ,x) là: 0, 1,2 nên P(X ●Cuối cùng một x nào đó lớn hơn 3 , trong khoảng (- ,x) biến ngẫu nhiên X nhận cả 4 giá tri 0, 1,2, 3 nên P(X Vậy F(x) =
b) Cách 1. Tính thông qua luật phân phối(bảng phân phối) P(0,2 < X < 2,7)= P(X= 1) +P(X= 2)= + = .
Cách 2.Tính thông qua hàm phân phối P(0,2 < X < 2,7)=F(2,7)-F(0,2)= - =
p(x) = a) Xác định k,hàm phân phối xác suất của X.
b)Tính P(0,7< X< 2) a)Theo tính chất của hàm mật độ: (1) Ở đây hàm số p(x) có giá trị khác nhau trên các khoảng, cụ thể là p(x) = 0 trên ( ,p(x) = k trên [ , và p(x) lại bằng 0 trên( do đó để tính tích phân suy rộng của hàm p(x) trên ( ta tách tích phân này thành 3 tích phân trên 3 khoảng tùy vào giá trị của p(x) . Khi đó
(1) + + =1 + + =1 b)Ta có X là biến ngẫu nhiên liên tục nên F(x) = P(X< x) = .
Muốn xác định giá trị hàm phân phối tại 1 điểm x nào đó ta cần tính tích phân suy rộng của hàm p(t) trên khoảng (- ,x]. Khi tính tích phân này giá trị hàm p(t) có thể được cho bởi những công thức khác nhau vì vậy ta phải xem p(t) có giá trị như thế nào trên (- ,x], nhưng giá trị này lại phụ thuộc vào điểm x nằm ở đâu so với các điểm ranh giới của các khoảng mà công thức của p(t) thay đổi .Do đó: ●Với một giá trị x nào đó nhỏ hơn 0 ta có p(t) = 0 t (- ,x] nên
F(x) = = =0 ●Với một giá trị x bất kỳ nào đó lớn hơn hoặc bằng 0 nhỏ hơn 1 trên khoảng (- ,x] ta có p(t) = 0 t (- ,0) ,còn p(t) = 3 t [0 ,x] nên
F(x) = = + = + = ●Với một giá trị x nào đó lớn hơn 1, trên khoảng (- ,x] ta có p(t) = 0 t (- ,0) ,còn p(t) = 3 t [0 ,1], p(t) = 0 t (1,x], nên F(x) = = + + = + + =1
Vậy F(x) = b) P(0,7 Cách 1 Tính thông qua hàm mật độ P(0,7 Cách 2 Tính thông qua hàm phân phối P(0,7 Từ luật phân phối của biến ngẫu nhiên người ta rút ra một vài con số để đặc trưng cho các mặt này mặt khác của biến ngẫu nhiên và đôi khi để so sánh các biến ngẫu nhiên với nhau.Các con số đó được gọi là các đặc trưng của biến ngẫu nhiên.Trong thực tế ta thường quan tâm đến các đặc trưng sau: E(X) = nếu X rời rạc. E(X) = nếu X liên tục.
Phương sai của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là D(X) và được định nghĩa. D(X) = nếu X rời rạc.
D(X) = nếu X liên tục *Công thức tính phương sai: D(X) = E( )- trong đó
E( ) = nếu X rời rạc. E( ) = nếu X liên tục.
Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 5 là biến rời rạc nên E(X)= 0. +1. +2 +3 =
D(X)= E( )- = . + . + + - = Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 6 là biến liên tục nên
E(X) = = + + = + + =
D(X) = E( )- [E(X) E( ) = = + + =
D(X)= – = Giả sử bảng phân phối xác suất của X là:
Theo giả thiết: E(X)=0,1 -1. +0 +1 =0,1 - + =0,1(a)
E( ) = 0,9 + + =0,9 + =0,9(b).Từ (a)và (b) ta có =0,5, =0,4.Mặt khác + + =1 =0,1. Vậy
X -1 0 1 p 0,4 0,1 0,5 Gọi p là xác suất một người ở tuổi 40 sống thêm 1 năm, X là lợi nhuận thu được khi bán một thẻ baỏ hiểm( triệu đồng).
Nếu người mua bảo hiểm sống thêm 1 năm thì công ty sẽ thu được 0,1 triệu, còn nếu người mua bảo hiểm chết trong năm đó thì công ty bị lỗ 0,1 -1=9,9 triệu, do đó ta có bảng phân phối xác suất của X
X -9,9 0,1 p 1-p p Theo giả thuyết E(X) = 0,05 -9,9(1-p)+0,1p = 0,05 p = 0,995
p(x) = .Thiết bị được gọi là đạt tiêu chuẩn nếu có tuổi thọ trên 10 (tháng) a)Theo tính chất của hàm mật độ: *Hàm phân phối của X Do giá trị của p(t) đuợc cho bởi 2 công thức trên 2 khoảng và ranh giới của 2 khoảng đó là 0 nên để xác định F(x) ta có 2 trường hợp sau:
●Với một giá trị x nào đó nhỏ hơn 0, p(t) = 0 t (- ,x] nên F(x) = = =0
●Với một giá trị x bất kỳ nào đó lớn hơn 0, trên khoảng (- ,x] ta có p(t) = 0 t (- ,0) ,còn p(t) = t [0 ,x] nên F(x) = = + = + = -1
Vậy F(x) = b)Tỷ lệ đạt tiêu chuẩn của loại thiết bị này
P(X>10) = =5 =5 ( )= ( )= Tuổi thọ trung bình:
E(X) = = 0 + Để tính I = ta đặt
Vậy E(X) = =1/25 ( ) |