I. Nguyên lý đếm I nguyên lý cộng

1. 
   Tính xác suất giám đốc chọn được 4 người nam đi công tác.
   
2. 
   Tính xác suất giám đốc chọn được 3 người nam, 1 người nữ đi công tác.
   

1. 
   là một số chẵn
   
2. 
   là một số có số đầu tiên là số 9 và các chữ số đều khác nhau.
   
3. 
   là một số có số đầu tiên là số 9, chữ số còn lại khác nhau và số lẻ.
   

+Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.

+Lấy lần lượt có hoàn lại ra 3 sản phẩm.

+ Lấy lần lượt không hoàn lại ra 3 sản phẩm.

Xác định không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố sau trong 3 phép thử trên:

a) Lấy được 3 sản phẩm tốt. b) Lấy được 2 sản phẩm tốt, 1 phế phẩm

a)Cả 4 khách đến cùng 1 quầy.

b)Mỗi người đến 1 quầy khác nhau.

1.5 Giả sử cấu tạo protein của sinh vật chỉ gồm 14 loại axit amin cơ bản.

Tính xác suất sinh tổng hợp chuỗi polypeptid (mạch thẳng) gồm 12 axit amin, sao cho:

a) Trong chuỗi có các axit amin valine, cystine, thyroxine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 1 lần và các axit amin glycine, leucine mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 2 lần.

b) Trong chuỗi có các axit amin valine, cystine, thyroxine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 1 lần và các axit amin glycine, leucine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 2 lần.Tất cả các axit amin này (valine, cystine,thyroxine glycine và leucine ) luôn nằm gần nhau và nằm giữa các axit amin valine, cystine là các axit amin glycine, leucine, thyroxin.

CHƯƠNG 2:CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

I.Công thức cộng xác suất.

I.1.Công thức cộng 1

Nếu A, B xung khắc thì P(A+B) = P(A) +P(B)

Nếu xung khắc từng đôi thì P( = P(

I.2 Công thức cộng 2

Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thì P(A+B) = P(A) +P(B)-P(AB)

Nếu A, B, C là 3 biến cố bất kỳ thì P(A+B+C) = P(A) +P(B)+P(C)- P(AB)-P(AC)-

P(BC)+P(ABC).

Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm

a)Tính xác suất được 3 sản phẩm cùng loại.

b)Tính xác suất được không quá 2 sản phẩm loại I.

Đề bài cho các biến cố: = “có i sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm lấy ra từ lô hàng”.( i= 0,1,2,3)

Các biến cố này xung khắc từng đôi và P( ) = ,

P( ) = , P( ) = , P( ) =

a) Biến cố cần tính xác suất: A= “được 3 sản phẩm cùng loại”

Vì lô hàng chỉ có 2 loại nên được 3 sản phẩm cùng loại là được 3 sản phẩm cùng loại I hoặc được 3 sản phẩm cùng loại II” nên A = + . Suy ra P(A)=P( + )=P( P( )=

b) Gọi B= “được không quá 2 sản phẩm loại I”

Ta có B = + .Vì xung khắc từng đôi nên

P(B) = P( + )=

Ví dụ 2. Trong 1 kỳ thi AN phải thi 2 môn: toán và ngoại ngữ. Xác suất An đậu toán là 0,2, xác suất An đậu ngoại ngữ là 0,3. Còn xác suất An đậu cả 2 môn là 0,1. Tính xác suất An đậu ít nhất môt môn.

Giải

Ta thấy đề bài cho 3 biến cố là: H= “An đậu môn toán”, K=“An đậu ngoại ngữ” và M= “An đậu môn toán và đậu ngoại ngữ”. Ta có H, K là 2 biến cố không xung khắc cũng không độc lập, M = HK, P(H)= 0,2, P(K) = 0,3, P(M) = P(HK) = 0,1.

Biến cố cần tính xác suất A = “An chỉ đậu ít nhất 1 môn” nghĩa là An đậu toán và đậu ngoại ngữ do đó A= H+K. Vì H, K không xung khắc( An có thể thi đậu cả toán và ngoại ngữ) nên P(A) = P(H+K) = P(H) + P(K) – P(HK) = 0,2+0,3 -0,1= 0,4

II.Công thức nhân xác suất.

II.1.Xác suất có điều kiện.

Xác suất của A tính trong trường hợp B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A với điều kiện B xảy ra.Ký hiệu P(A/B)

Gọi A = “được số chia hết cho 2” ta dễ thấy P(A) = 10/20

Nhưng ở đây yêu cầu tính xác suất của A biết rằng đã được số chia hết cho 3 nghĩa là tính xác suất của A khi đã có B = “đã được số chia hết cho 3” xảy ra.Vậy ta cần tính P(A/B)

Khi đã được số chia hết cho 3 ta thấy tổng số trường hợp n= 6 vì chỉ còn có 6 trường hợp có thể xảy ra đó là được các số 3,6,9,12,15,18, và trong đó có 3 trường hợp để A xảy ra( được các số 6,12,18) vì vậy theo định nghĩa xác suất cổ điển xác suất của A trong trường hợp này 3/6

Vậy P(A/B) =3/6=1/2.

Ví dụ 4.Một lớp học có 100 sinh viên trong đó có 30 sinh viên giỏi toán, 40 sinh viên giỏi ngoại ngữ và 10 sinh viên giỏi cả 2 môn. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên từ lớp học.

1. 
   Tính xác suất được sinh viên giỏi toán.
   
2. 
   Tính xác suất được sinh viên giỏi toán, biết rằng sinh viên đó giỏi ngoại ngữ.
   

Gọi A = “ được sinh viên giỏi toán”

Gọi B = “ được sinh viên giỏi ngoại ngữ”

1. 
   P(A) = 30/100
   

Khi B xảy ra nghĩa là ta đã chọn được sinh viên giỏi ngoại ngữ nên tổng số trường hợp xảy ra n = 40, trong đó có 10 sinh viên giỏi toán nên = 10 . Vậy P(A)= 10/40

Gọi B = “ khách hàng thứ nhất mua được sản phẩm tốt”

Gọi A = “khách hàng thứ hai mua được sản phẩm tốt”

Ta cần tính P(A/B)

Khi B xảy ra (người thứ nhất đã lấy đi 1 sản phẩm và đó là sản phẩm tốt), lúc này lô hàng chỉ còn 8 sản phẩm trong đó có 3 tốt, 5 xấu. Người thứ 2 lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm để mua thì tổng số trường hợp xảy ra n = 8, = 3.Vậy P(A/B) = 3/8

*Định lý. P(A/B) =

Hai biến cố A, B được gọi là độc lập nếu P(A/B)= P(A) hoặc P(B/A)=P(B)

Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P(A).P(B)

Nếu độc lập trong toàn bộ thì P( = P(

Ví dụ 6. Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất máy 1, máy 2, máy 3 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc lần lượt là 0,1,0,2 và 0,3

1. 
   Tính xác suất cả 3 máy đều hoạt động tốt.
   
2. 
   Tính xác suất có 2 máy hoạt động tốt.
   
3. 
   Tính xác suất có 1 máy hoạt động tốt.
   
4. 
   Tính xác suất có ít nhất 1 máy hoạt động tốt.
   
5. 
   Biết rằng có 2 máy hoạt đông tốt tính xác suất máy 1 hoạt động tốt
   

Đề bài cho 3 biến cố: = “ Máy 1 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc” , = “ Máy 2 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc”, = “ Máy 3 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc”, với P( ) = 0,1, P( ) = 0,2, P( ) = 0,3. Các biến cố , , không xung khắc từng đôi, nhưng độc lập trong toàn bộ.

Ta ký hiệu bốn biến đề bài cần tính xác suất trong các câu a, b, c, d lần lượt là A, B, C, D.

a)Ta có A = . . P(A) = P( ).P( ).P( )= 0,1.0,2.0,3=0,006 (do , , độc lập trong toàn bộ)

b) B = . . + . . + . .

P(B) = P( . . )+ P( . . )+P( . . )

(do 3 biến cố xung khắc từng đôi)

= P( ).P( ).P( )+P( ).P( ).P( )+P( ).P( ).P( )

=0,1.0,2.0,7+0,1.0,8.0,3+0.9.0,2.0,3= 0,092

c) C = . . + . + . .

Tương tự câu b, ta có P(C) =P( ).P( ).P( )+ P( ).P( ).P( )+P( ). P( ).P( )=0,1.0,8.0,7 + 0,9.0,2.0,7 +0,9.0,8.0,3 = 0,398

d)D = . . + . . + . . + . . + . . +

P(D) = P( ).P( ).P( )+P( ). P( ).P( )+ P( ).P( ).P( )+P( ). P( ).P( )+P( ).P( ).P( )+ P( ).P( ).P( )+P( ). P( ).P( ) = 0,496

Ta cũng có thể tính P(D) như sau: D = + + , với cách phân tích này do , , không xung khắc nên

P(D) = P( )+ P( )+P( )-P( . )-P( . )-P( . )+P( )= P( )+ P( )+P( )-P( ).P( )-P( ).P( )-P( ).P( )+P( )

= 0,1+0,2+0,3 -0,1.0,2-0,1.0,3-0,2.0,3+0,1.0,2.0,3= 0,496

Hoặc có thể dùng biến cố đối lập P( ) = 1 – P(D) = 1- P( ).P( ).P( ) = 1- 0,9.0,8.0,7= 0,496

e)P( /B)= = =0,152

II.4. Công thức nhân xác suất 2.

Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thì

P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B)P(A/B)

Nếu là các biến cố bất kỳ thì P( =P(

Giống như ví dụ 6 ở đây đề cho 3 biến cố: = “ Lá 1 bỏ đúng phong bì” , = “Lá 2 bỏ đúng phong bì”, = “Lá 1 bỏ đúng phong bì ”, nhưng chưa cho xác suất của 3 biến cố này và 3 biến cố , , , không xung khắc từng đôi, không độc lập trong toàn bộ.

Gọi A = “Cả 3 lá đều bỏ đúng”.

Vì các biến cố , , , không độc lập trong toàn bộ nên để tính các xác suất này ta phải dùng công thức nhân 2.

Ta có A = . .

P(A) = P( ).P( / ).P( / )

P( )=2/6 , P( / )= ½

(Khi xảy ra nghĩa là lá 1 đã bỏ đúng, tổng số trường hợp n= 2! Số trường hợp để xảy ra(lá 2 bỏ đúng) là =1),

P( / ) =1.Vậy P(A)= 2/6 .1 / 2 .1 =1/6

Ví dụ 8. Một người tham gia đấu thầu 2 dự án. Khả năng trúng thầu dự án thứ nhất là 0,6. Nếu trúng thầu ở dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu ở dự án thứ 2 là 0,8, còn nếu không trúng thầu ở dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu ở dự án thứ 2 chỉ còn là 0,3.Tính xác suất

1. 
   Trúng thầu dự án thứ 2
   
2. 
   Trúng thầu cả 2 dự án
   
3. 
   Trúng thầu 1 dự án
   
4. 
   Trúng thầu ít nhất 1 dự án
   

Gọi = “người đó trúng thầu ở dự án thứ nhất”

a)Tacó = + P( )=P( + )=P( )P( / )+P( )P( / )=

0,6.0,8+0,4.0,3=0,6

b) Gọi A = “Trúng thầu cả 2 dự án”

A= P(A)= P( )P( / )=0,6.0,8=0,48

c)Gọi B = “Người đó trúng thầu 1 dự án”

B= + P(B) =P( )P( / )+P( )P( / )=0,6.0,2+0.4.0,3=0,24

d)Gọi C = “Người đó trúng thầu ít nhất 1 dự án”

C= + + P(C)= P( )P( / )+P( )P( / )+P( )P( / )

=0,6.0,2+0.4.0,3+0,6.0,8=0,72

Hoặc P(C)= 1- P( )= 1- P( )=1-P( )P( )=1-0,4.0,7=0,72

III.Công thức Bernoulli.

III.1 Dãy phép thử Bernoulli

Dãy n phép thử Bernoulli là dãy phép thử thỏa 3 điều kiện:

-Các phép thử độc lập.

- Trong mỗi phép thử hoặc A xảy ra hoặc xảy ra.

- Xác suất P(A) = p (cố định) trong mỗi phép thử.

III.2.Công thức Bernoulli:

Gọi là xác suất được k lần A xảy ra trong dãy n phép thử Bernoulli. Khi đó = k = 0,1,…,n; q=1-p

1. 
   Tính xác suất có 2 địa điểm bán được hàng.
   
2. 
   Tính xác nhân viên bán được hàng
   

Nếu ta coi việc nhân viên đến bán hàng ở 1 địa điểm là 1 phép thử thì nhân viên này đến bán hàng ở 5 địa điểm coi như 1 dãy 5 phép thử.Trong mỗi phép thử hoặc người đó bán được hàng hoặc người đó không bán đượ hàng nghĩa là hoặc biến cố A = “Nhân viên bán được hàng” xảy ra hoặc xảy ra và P(A) = 0,2.Vậy đây là dãy 5 phép thử Bernoulli.

a)Gọi B = “ có 2 địa điểm bán được hàng”

Khi đó B= “có 2 lần A xảy ra trong dãy 5 phép thử Bernoulli”.

Vì vậy P(B) = =

b)Gọi C = “ nhân viên bán được hàng”

P( ) = = = 0,32768

Vậy P(C)= 1- P( )=0,67232

V.Công thức xác suất toàn phần, BAYES.

V.1.Nhóm biến cố đầy đủ.

Nhóm biến cố , được gọi là đầy đủ nếu:

- . = ( xung khắc từng đôi)

- + =Ω

Nếu A là biến cố bất kỳ được chi phối bởi nhóm biến đầy đủ , thì

P(A) = P( ).P(A/ + P( ).P(A/ +…+P( ).P(A/

V.3Công thức xác suất Bayes

Cho , là nhóm biến cố đầy đủ và A là biến cố được chi phối bởi nhóm biến đầy đủ này.Giả sử A xảy ra, khi đó P( /A) = , j = 1,2,…,n

Bài toán này gồm 2 phần: phân xưởng của nhà máy và sản phẩm chính phẩm.Việc tính tỷ lệ chính phẩm của nhà máy tương đương với chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy, tính xác suất được chính phẩm. Biến cố cần tính xác suất A= “được sản phẩm chính phẩm” liên quan đến phần chính phẩm, như vậy theo nhận xét trên nhóm đầy đủ sẽ liên quan đến phần đầu và đó là các biến cố : = “ sản phẩm lấy ra là của phân xưởng i” i=1,2,3 (bạn đọc dễ dàng kiểm tra đây là nhóm đầy đủ)

Theo giả thiết ta có P( ) = 0,4, P( ) = 0,35, P( ) = 0,425

P(A/ ) = 0,94( Ở đây diễn dạt thành lời ta thấy: P(A/ ) là xác suất được chính phẩm với điều kiện sản phẩm này do phân xưởng I sản xuất ra, theo đầu bài ta có ngay 0,94)

Tương tự P(A/ ) = 0,98, P(A/ ) = 0,97

Theo công thức xác suất toàn phần

P(A) = P( ).P(A/ + P( ).P(A/ +P( ).P(A/ =0,4.0,94+0,35.0,98+0,25.0,97

=0,9615

Biến cố cần tính xác suất A = “ có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy từ lô II”. Ta không thể tính trực tiếp P(A), vì xác suất của A thay đổi tùy thuộc vào trong thực tế biến cố nào trong các biến cố chi phối A xảy ra. Vậy các biến cố chi phối A ở đây là gì? Ở đây bài toán gồm 2 bước, bước 1 lấy 1 sản phẩm từ lô hàng I bỏ sang lô hàng II , bước 2 lấy từ lô hàng II ra 2 sản phẩm. Biến cố A nằm ở bước 2 và nó phụ thuộc vào bước 1 lấy được 2 sản phẩm gì từ lô I bỏ vào lô II , từ đây ta có nhóm biến cố đầy đủ là : lần lượt là các biến cố “có 0,1,2 sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm lấy từ lô I bỏ vào lô II”

Ta có P( )= , P( )= ,P( )=

P(A/ ) = , P(A/ )= , P(A/ )=

Theo công thức xác suất toàn phần P(A) = P( ).P(A/ +P( ).P(A/ +P( ).P(A/

= + + =2811/6160=0,4563

P( ) = , P( ) = , P( ) =

Tính P(A/ )

Khi xảy ra ta có 3 sản phẩm lấy từ lô II là sản phẩm của lô II, nên tổng số trường hợp xảy ra n = , số trường hợp để A xảy ra: =

P(A/ )= .

Khi xảy ra ta có trong 3 sản phẩm lấy từ lô II có 2 sản phẩm của lô II, 1 sản phẩm của lô I để được 2 sản phẩm tốt, 1 xấu thì 2 sản phẩm của lô II là 2 sản phẩm tốt và sản phẩm của lô I là xấu hoặc 2 sản phẩm của lô II có 1 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu và sản phẩm của lô I là sản phẩm tốt do đó

P(A/ )= , P(A/ )=

Theo công thức xác suất toàn phần

P(A) = P( ).P(A/ + P( ).P(A/ +P( ).P(A/

= + + =0,4563

Thùng II có 5 quả cầu đỏ, 7 quả cầu trắng.

Thùng III có 4 quả cầu đỏ, 5 quả cầu trắng.

Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng I bỏ vào thùng II, rồi từ thùng II lấy ngẫu nhiên 1 quả bỏ vào thùng III sau cùng từ thùng III lấy ngẫu nhiên ra 3 quả.Tính xác suất có 2 quả đỏ, 1 qủa trắng trong 3 qủa lấy từ thùng III

Ta thấy biến cố cần tính xác suất A = “có 2 quả đỏ, 1 qủa trắng trong 3 qủa lấy từ thùng III” phụ thuộc vào quả lấy từ thùng II bỏ vaò là quả màu gì. Do đó ta có nhóm biến cố đầy đủ chi phối biến cố A là =“quả lấy từ thùng II bỏ vào thùng III là đỏ”, =“quả lấy từ thùng II bỏ vào thùng III là trắng” .Theo công thức xác suất toàn phần P(A)=P( ).P(A/ + P( ).P(A/ .Để tính P( ),ta thấy biến cố này phụ thuộc vào 2 quả bỏ từ hôp I vào hộp II là quả màu gì và như vậy nhóm biến cố đầy đủ chi phối biến cố là: = “ Có 0 qủa đỏ trong 2 quả lấy từ hộp I bỏ vào hộp II”, = “ Có 1 qủa đỏ trong 2 quả lấy từ hộp I bỏ vào hộp II”, = “ Có 2 qủa đỏ trong 2 quả lấy từ hộp I bỏ vào hộp II”.Theo định lý xác suất toàn phần P( )=P( ).P( +P( ).P( +P( ).P( = + + =

Tương tự P( =P( )=P( ).P( +P( ).P( +P( ).P( = (Hoặc P( =1- P( ))

P(A) = P( ).P(A/ + P( ).P(A/ = . + = =