Định lí: Cho là trung điểm, điểm chuyển động tùy ý trên. Từ kẻ. Chứng minh rằng Chứng minh



tải về 261.16 Kb.
trang5/6
Chuyển đổi dữ liệu29.07.2016
Kích261.16 Kb.
1   2   3   4   5   6

II.20)Điểm Vecten
Kết quả:. Cho tam giác . Dựng ra phía ngoài(hay vào trong) các hình vuông . Khi đó đường nối 1 đỉnh của tam giác với tâm hình vuông dựng trên cạnh đối diện đồng quy tại điểm Vecten của tam giác .
Chỉ dẫn chứng minh:

Theo định lí thì điều này hiển nhiên và cũng dễ dàng suy ra được có 2 điểm trong và ngoài(hay âm và dương).


Ngoài ra ta còn có 1 tính chất khá thú vị về điểm : Tâm đường tròn chín điểm và 2 điểm thẳng hàng.
II.21)Điểm Mittenpunkt
Kết quả: Cho tam giác , là tâm các đường tròn bàng tiếp, lần lượt là trung điểm các cạnh . Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm của tam giác .
Chỉ dẫn chứng minh:

Ta có:


Chiếu hệ thức theo phương lên trục ta được:


Tương tự với các đường còn lại ta suy ra dpcm
Ta có:
Ngoài ra ta còn có 1 vài tính chất bên lề khá thú vị: Với giả thiết như trên gọi là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp tam giác với 3 cạnh thì đồng quy. Khi đó điểm này và điểm là 2 điểm đẳng giác.
*Điểm , tâm và trực tâm thẳng hàng
*Điểm , tâm đường tròn nội tiêp và điểm thẳng hàng.

*Điểm , trọng tâm va điểm thẳng hàng với


II.22)Điểm Napoleon
Kết quả:.Cho tam giác , dựng ra phía ngoài( hay vào trong) các tam giác đều . Khi đó đường nối 1 đỉnh của tam giác với trọng tâm tam giác đều dựng trên cạnh đối diện đồng quy tại điểm Napoleon của tam giác .
Chỉ dẫn chứng minh:

Áp dụng định lí ta suy ra dpcm cũng dễ dàng suy ra có 2 điểm là trong và ngoài





II.23)Đường tròn Adam

Kết quả:Cho tam giác ABC với điểm Gergonne G.Đường thẳng qua G song song với EF cắt AB,AC ở S,P.Đường thẳng qua G song song với DE cắt AC,BC ở Q,M.Đường thẳng qua G song song với DF cắt BA,BC ở R,N.Khi đó các điểm M,N,P,Q,R,S cùng thuộc một đường tròn gọi là đường tròn Adam của tam giác ABC.

Chỉ dẫn chứng minh:

Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC,tiếp điểm của (I) trên BC,CA,AB lần lượt là D,E,F.Đường thẳng qua A và G song song với BC tương ứng cắt DE,DF ở (H,K),(V,T).


Ta thấy:
.
Do đó AH=AK nên GT=GV.
Bây giờ để ý rằng GTDN và GVDM là hai hình bình hành nên ta cũng có DM=DN.
Kết hợp với ID vuông góc với BC ta thu được IM=IN.
Tương tự IP=IQ,IR=IS
Mặt khác dễ thấy :IM=IQ=IR.
Từ các khẳng định trên ta dễ nhận được điều cần chứng minh.
II.24)Tam giác Fuhrmann ,đường tròn Fuhrmann
Kết quả:Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm . Gọi là trung điểm các cung BC, CA, AB. Lấy các điểm trên đối xứng qua các cạnh tương ứng ta được 3 điểm nữa là .Khi ấy tam giác được gọi là tam giác của tam giác .

Đường tròn ngoại tiếp tam giác được gọi là đường tròn



Tính chất:
1)

2)





3)Trực tâm của tam giác trùng với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .(để chứng minh ta có thế sử dụng tích vô hướng)

4)Tâm đường tròn chín điểm của tam giác và tam giác trùng nhau. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có độ dài bằng
II.25)Hình luc giác và đường tròn Lemoine thứ nhất
Kết quả:Cho tam giác và điểm . Qua kẻ các đường thẳng song song với các cạnh cắt các cạnh còn lại tại . Khi ấy lục giác được gọi là lục giác thứ nhất của tam giác .



Tính chất:
1)Lục giác thứ nhất là lục giác ngoại tiếp. Đường tròn ngoại tiếp lục giác này được gọi là đường tròn thứ nhất:
Do là đường thẳng đối trung đi qua trung điểm của nên là đường đối song tương ứng cạnh . Suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp.

2)Các cạnh bị kẹp giữa các đường song song tỉ lệ với lũy thừa bậc ba cạnh tương ứng:


Gọi x, y, z là khoảng cách từ L tới 3 cạnh tam giác. Khi đó:






3)3 đoạn trên cùng 1 cạnh tỉ lệ với bình phương các cạnh của tam giác


4)Tâm của đường tròn Lemoine thứ nhất là trung điểm đoạn nối điểm Lemoine với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:


Để ý vuông góc với khi đó ta dễ dàng suy ra được dpcm.

5)Bán kính



Ngoài ra ta còn có cách viết khác:

Trong đó là bán kính đường tròn Lemoine thứ hai(sẽ được nói đến trong phần sau)
II.26)Hình lục giác và đường tròn Lemoine thứ hai

Khái niệm về đường đối song:Cho tam giác . Với 2 điểm bất kì thuộc các cạnh ta có 2 kiểu chọn sao cho tam giác đồng dạng với tam giác . Thứ nhất là song song với Thứ hai là tứ giác nội tiếp như hình vẽ. Khi ấy được gọi là các đường đối song tương ứng với góc

Tính chất:Đường đối trung luôn đi qua trung điểm của các đường đối song tương ứng với cùng 1 đỉnh.



Kết quả:Cho tam giác và điểm . Qua kẻ các đường đối song tương ứng với các cạnh của tam giác cắt các cạnh còn lại tại Khi đó lục giác được gọi là lục giác thứ hai.



Tính chất:
1)Lục giác thứ hai nội tiếp 1 đường tròn và đường tròn này được gọi là đường tròn thứ hai của tam giác ABC.

2)Bán kính

Thực chất lục giác và đường tròn chỉ là trường hợp đặc biệt của lục giác và đường tròn . Xem thêm trong

II.27)Điểm Euler của Tứ giác nội tiếp
Kết quả:Cho tứ giác nội tiếp . Gọi lần lượt là trực tâm các tam giác . Khi ấy thì các đường thẳng đồng quy. Điểm đồng quy được gọi là điểm của tứ giác nội tiếp.



Chỉ dẫn chứng minh:
Ta có song song và cùng bằng 2 lần khoảng cách từ tới nên tứ giác là hình bình hành suy ra giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
Tương tự ta suy ra bốn đường thẳng đồng quy tại trung điểm mỗi đường.

Từ đây ta suy ra được nhiều tính chất thú vị của điểm

1)Điểm nằm trên đường vuông góc hạ từ trung điểm một cạnh tới cạnh đối diện(hoặc trung điểm đường chéo tới đường chéo còn lại).

2)Đường thẳng của đỉnh với tam giác thì đi qua điểm . Tương tự với các đỉnh còn lại.



3)Đường tròn chín điểm của các tam giác đồng quy tại điểm
Xem thêm

II.28)Đường thẳng Steiner của tứ giác toàn phần
Kết quả:Cho tứ giác toàn phần Khi đó trực tâm của các tam giác cùng nằm trên 1 đường thẳng được gọi là đường thẳng của tứ giác toàn phần.



Chỉ dẫn chứng minh:
Gọi lần lượt là trực tâm các tam giác
Gọi là trung điểm các đường chéo
Khi đó:
Vậy nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn
Tương tự ta cũng có 3 trực tâm còn lại cùng nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn này suy ra dpcm.

II.29)Đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần.
Kết quả:Cho tư giác toàn phần . Khi đó trung điểm các đường chéo cùng nằm trên một đường thẳng được gọi là đường thẳng của tứ giác toàn phần.



Chỉ dẫn chứng minh:
Gọi lần lượt là trung điểm các đường chéo
là tam giác trung bình của tam giác
Khi đó các điểm nằm trên các cạnh của tam giác .
Ta có:




Nhân các vế các đẳng thức trên ta được:



Suy ra dpcm.
Từ 2 bài viết trên ta thấy rằng trong 1 tứ giác toàn phần thì đường thẳng Steiner vuông góc với đường thẳng Gauss.

II.30) Điểm Miquel của tứ giác toàn phần
Kết quả:Cho tứ giác toàn phần . Khi ấy đường tròn ngoại tiếp của các tam giác đồng quy. Điểm đồng quy đó được gọi là điểm của tứ giác toàn phần.



Chỉ dẫn chứng minh:
Giả sử đường tròn ngoại tiếp các tam giác giao nhau tại điểm khác
Khi đó ta có:


Vậy nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tương tự với đường tròn còn lại ta suy ra dpcm.

: web -> attachments
attachments -> KỲ thi thử ĐẠi học năM 2014 – Cho Cún Ngày thi: 09/4/2014 MÔn thi : toán thời gian làm bài: 180 phút
attachments -> MỘt số kinh nghiệm khi dạy và HỌc mạo từ A. MẠo từ không xáC ĐỊnh “A” – “AN”
attachments -> Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ViÖn to¸n häc MỘt số kiến thức về HÌnh olympiad
attachments -> Các bài trong các số Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ từ tháng 12/2005 đến nay
attachments -> TRƯỜng trung học phổ thông chuyêN  SỞ giáo dục và ĐÀo tạo tỉnh quảng bìNH
attachments -> KIỂu dữ liệu số nguyên trong ngôn ngữ LẬp trình pascal I / Loại
attachments -> Ứng dụng kiểu xâu trong phép toán với số nguyên lớn I. ĐẶt vấN ĐỀ
attachments -> I. so sánh bằNG: Affirmative: As + adj/adv + As Ví dụ
attachments -> TRƯỜng thpt chuyên võ nguyên giáp một số phảN Ứng tổng hợp ancol – phenol – andehit – xeton – axit cacboxylic đƠn chức bằng phưƠng pháp tăNG, giảm mạch cacbon
attachments -> MỘt số kinh nghiệm dạy kỹ NĂng làm bài tậP ĐỌc hiểu môn tiếng anh cho đỘi tuyển học sinh giỏI


1   2   3   4   5   6


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương