I.68)Định lí Archimedes
Định lí:Cho là trung điểm , điểm chuyển động tùy ý trên .Từ kẻ .Chứng minh rằng
Chứng minh:
Trên tia dựng điểm sao cho .
Ta có:
đồng thời suy ra
Vậy đồng thời là đường cao, đường trung tuyến tam giác
nên tam giác cân tại M suy ra
do đó là trung điểm cạnh
hay nói cách khác (dpcm)
I.69) Định lí Urquhart
Định lí:Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng và , là giao điểm của và .Chứng minh rằng khi và chỉ khi .
Chứng minh:
Đầu tiên ta cần chứng minh bổ đề sau:Trong tam giác ABC ta có với p là nửa chu vi và a=BC.
Ta có:
mặt khác
.
nên suy ra
do nên nghịch đảo hai vế ta được dpcm
Trở lại bài toán gọi các góc như trên hình vẽ ta có:
(dpcm)
I.70)Định lí Mairon Walters
Định lí:Cho tam giác ABC và các đường thẳng chia 3 cạnh đối diện như hình vẽ.Chứng minh rằng
Chứng minh::
Trước tiên ta cần chứng minh bổ đề sau:Cho tam giác điểm di động trên đường thẳng sao cho .Giả sử giao nhau tại thì chia đoạn theo tỉ số .
Giả sử thì ta có:
mà
lại do cùng phương với nên tồn tại một số sao cho
Mặt khác cách biểu diễn này là duy nhất nên ta có đồng nhất thức:
suy ra:
.
Quay lại bài toán ban đầu ta áp dụng bổ đề nhiều lần liên tiếp ta được(đây chỉ là kĩ năng tính toán nên mình chỉ ghi kết quả các bác thông cảm)
suy ra:
(dpcm)
I.71)Định lí Poncelet về bán kính đường tròn nội tiếp,bàng tiếp trong tam giác vuông.
Định lí:Cho tam giác có lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc .Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi .
Chứng minh::
Ta có:
tam giác vuông tại (dpcm)
I.72)Ðịnh lí Hansen
Ðịnh lí:Cho tam giác .Chứng minh rằng các điều kiện sau tương đương:
1)Tam giác vuông
2)
3)
Chứng minh:
Ðầu tiên ta chứng minh một vài hệ thức phụ sau:
1)
2)
3)
Ta có:
Trở lại bài toán ban đầu ta có:
Do nên chia cả hai vế cho ta được"
(1)
Ðặt ta suy ra do dó
(1)
tam giác vuông.
(2)
tương tự thay như trên với chú ý và ta được:
(2)
(3)
do lớn hơn nên
(3) tam giác vuông.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
*chú thích:
I.73)Định lí Steinbart mở rộng
Định lí:.Cho tam giác nội tiếp .Các tiếp tuyến của đường tròn tại giao nhau tại .Trên (O) lấy các điểm .Chứng minh rằng đồng quy khi và chỉ khi đồng quy hoặc các giao điểm của với 3 cạnh tam giác thẳng hàng.
Chứng minh:
Gọi
Ta có:
mà
nên
Tương tự ta suy ra:
do đó nếu vế phải bằng thì biểu thức trong ngoặc ở vế trái bằng hoặc và ngược lại hay nói cách khác đồng quy khi và chỉ khi đồng quy hoặc thẳng hàng
I.74)Định lí Monge & d'Alembert I
Định lí:Cho 3 đường tròn có bán kính khác nhau và không chứa nhau.Tiếp tuyến chung ngoài của mỗi đường tròn giao nhau lần lượt tại .Chứng minh rằng: thẳng hàng.
Chứng minh:
Vì các đường tròn có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử:
.Khi đó ta có thể chứng minh được:
Suy ra:
Theo định lí Menelaus ta suy ra dpcm
*Chú thích:
là phép vị tự tâm tỉ số biến thành
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
I.75)Định lí Monge & d'Alembert II
Định lí:Cho 3 đường tròn có bán kính khác nhau và không chứa nhau.Tiếp tuyến chung trong của (A) và (C), (B) và (C) giao nhau lần lượt tại , tiếp tuyến chung ngoài của và giao nhau tại .Chứng minh rằng: thẳng hàng.
Chứng minh:
Vì các đường tròn có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử:
.Khi đó ta có thể chứng minh được:
Suy ra:
Theo định lí Menelaus ta suy ra dpcm
*Chú thích:
là phép vị tự tâm tỉ số biến thành
I.76)Định lí Steiner về bán kính các đường tròn
Định lí:Chứng minh rằng trong tam giác ta có:
Chứng minh:
Ta có:
(hiển nhiên) suy ra dpcm
I.77)Định lí Bellavitis
Định lí::Cho tứ giác là tứ giác điều hoà kí hiệu .Chứng minh rằng:
Chứng minh:
Gọi đường tròn đường kính là đường tròn Apollonius của tam giác ứng với đỉnh .
Vì là tứ giác điều hoà nên do đó thuộc đường tròn Apollonius của tam giác .
Dựng đối xứng với qua phân giác .
Ta suy ra:
Vậy (dpcm)
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |