D V=R,K=R vaø hai pheùp toaùn coäng nhaân thoâng thöôøng

d)V=R ,K=R vaø hai pheùp toaùn coäng nhaân thoâng thöôøng .

a)Vectô (1,7,-4) coù laø toå hôïp tuyeán tính cuûa x,y hay khoâng?

b)Tìm giaù trò cuûa m ñeå vectô (1,m,5)laø toå hôïp tuyeán tính cuûa x,y.

c)Tìm ñieàu kieän cuûa a,b ñeå vectô (a,b,0) laø toå hôïp tuyeán tính cuûa x,y.

Baøi 3: Trong khoâng gian veùctô P₃[x] cho caùc ña thöùc u₁ = x³+2x²+x+1, u₂ = 2x³+ x²-1 , u₃=3x³+3x²-x+2.Tìm ñieàu kieän ñeå u=ax³+bx²+cx+d laø toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc veùctô u₁,u₂,u₃ .
Baøi 4:Trong caùc taäp hôïp döôùi ñaây taäp hôïp naøo ñoäc laäp tuyeán tính trong khoâng gian veùctô töông öùng.

a)vôùi v=(2,-1,3,1), v =(1,1,1,1)trong khoâng gian vectô R⁴ treân K=R.

b) vôùi v, v₂= v₃= vôùi ABCD laø hình bình haønh trong khoâng gian vectô V treân R.

c) trong khoâng gian P[x] treân R,trong ñoù

i)v=2x+1,v=x-2,v=x³ ,v=x⁴.

ii)v=2,v=x,v=x²-1,v=1+x+x²+x³.

d)trong khoâng gian M(R) treân tröôøng R vôùi
i)v=,v=,v=
ii)v=,v₂=,v=

Baøi 5: Trong khoâng gian vectô R³ cho caùc vectô x =(1,1,0),y=(0,1,2),

z=(-1,2,m).Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì ba vectô treân phuï thuoäc tuyeán tính.
Baøi 6: Trong khoâng gian veùctô V cho caùc veùctô x,y,z laø ñoäc laäp tuyeán tính .Chöùng minh raèng caùc vectô u=x+y-2z,v=x-y-z,w=x+z cuõng ñoäc laäp tuyeán tính .
Baøi 7: Tìm haïng cuûa heä vectô trong moãi tröôøng hôïp sau :
a) trong khoâng gian vectô R⁴ treân K=R vôùi

i) v=(1,1,1,5),v=(0,2,3,4),v=(0,0,1,2)

ii) v=(1,2,3,4),v=(2,5,0,1),v=(0,1,-6,-7)

b) trong khoâng gian vectô P[x], K=R vôùi v=x²+1,

v=x²-2x+2,v=x+1,v=-1.
Baøi 8: Trong khoâng gian vectô R³ treân R cho caùc vectô v₁=(1,1,1), v₂=(2,3,4), v₃ = (3,4,0), u₁=(1,0,0), u₂ = (2,1,0), u₃=(3,2,1), v= (-3,-4,5)

a)Chöùng minh raèng B={v₁,v₂,v_3­} vaø B^’={u₁,u₂,u₃}laø nhöõng cô sôû cuûa R³_.Tìm [v]_B’

Baøi 9: Trong khoâng gian M_2X2(R) vôùi hai pheùp toaùn coäng hai ma traän ,nhaân moät soá thöïc vôùi moät ma traän nhö ñaõ bieát ,cho caùc veùctô :

,

1. 
   Chöùng minh raèng B= {e₁,e₂,e_3,e₄}vaø B’={e₁’,e₂’,e₃’,e₄’} laø nhöõng cô sôû cho cuûa M_2x2(R)
   
2. 
   Tìm ma traän chuyeån cô sôû töø B’ sang B vaø töø B sang B’.
   
3. 
   Tìm toïa ñoä cuûa vectô v= ñoái vôùi cô sôû B vaø döïa vaøo ma traän chuyeån cô sôû ôû caâu b) tìm[v]_B’.
   
4. 
   Tìm vectô u M_2x2(R) bieát raèng [u]_B’=
   

c) M=trong khoâng gian M_2x2(R).Chöùng minh raèng v=thuoäc .

Baøi 15: Cho W=

1. 
   Chöùng minh raèng W laø khoâng gian con cuûa R³.
   
2. 
   Tìm moät cô sôû vaø soá chieàu cuûa W.
   

Baøi 16: Cho U = { ax² + bx + c / a,b,cR,}

1. 
   Chöùng minh raèng U, W laø khoâng gian con cuûa khoâng gian vectô P₂[x]
   
2. 
   Tìm moät cô sôû vaø soá chieàu cuûa U, W ,UW,U+W.
   
3. 
   Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì vectô v= m⁴x² –m³x-7m²+m+6 thuoäc W.
   

Cho W₁=

W₂=

W₃=

1. 
   Chöùng minh raèng W₁, W₂, W₃ laø khoâng gian veùctô con cuûa M_2X2(R).
   
2. 
   Tìm moät cô sôû vaø soá chieàu cuûa W₁,W_{2 ,}W₃.
   

a) b)

c)

Baøi 20 : Cho U laø khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát , W laø khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát x₁+x₂+x₃=0.

V={(x₁, x₂, x₃)R³/ 2x₁- x₂ + x₃=0}

Chöùng minh raèng U+V=R³ .
Baøi 24:Cho U ,V laø hai khoâng gian con cuûa khoâng gian vectô V treân K .

1. 
   Chöùng minh raèng dim(U+V)=dimU +dimW –dim(UW).
   
2. 
   Chöùng minh raèng neáu UW={0} vaø U+W=V thì vôùi moïi veùctô
   

u  U, w  W.