4-mavzu. Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishning o‘q otish usuli

tải về 163.67 Kb.

Chuyển đổi dữ liệu	27.05.2024
Kích	163.67 Kb.
	#57762

4-maruza

Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishning o‘q otish usuli
Namunaviy masalalar va ularning yechimlari 1-misol.

4-mavzu. Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishning o‘q otish usuli.
ODT uchun chegaraviy masalalarni yechishning eng ko‘p qollanadigan sonli usullarini ikkita guruhga bo‘lish mumkin:
1) Chegaraviy masala yechimini ketma-ket Koshi masalalarini yechishga keltirish;
2) Chekli ayirmalar usullarini qo`llash.
Birinchi guruh usullariga, xususan, o`q otish usuli kiradi [16, 22].

Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishning o‘q otish usuli

Ikkinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan ushbu

(2.1)
ikkinchi tartibli tenglama ODTning kesmada quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini izlaymiz:
. (2.2)
O‘q otish usulining mohiyati (2.1), (2.2) chegaraviy masalani (2.1) tenglama uchun ushbu boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi
(2.3)
Koshi masalasiga keltirib yechishdan iborat, bunda – bu nuqtada integral egri chiziqqa o`tkazilgan urinmaning absissa o‘qi bilan hosil qilgan burchagidir.
(2.1), (2.3) Koshi masalasining yechimi parametrdan bog’liq, nuqtadan chiquvchi va nuqtaga tushuvchi integral egri chiziq ko‘rinishida izlanadi. Shunday qilib, agar bo`lsa, u holda – Koshi masalasining yechimi – chegaraviy masalaning yechimi bilan ustma-ust tushadi. da ikkinchi chegaraviy shartdan quyidagini hosil qilamiz:

Demak, ko‘rinishdagi tenglamani hosil qilamiz, bunda . Bu tenglamani yechish uchun chiziqlimas tenglamlarni yechishning birorta usulini qo‘llash mumkin.
Namunaviy masalalar va ularning yechimlari

1-misol. Ushbu

chegaraviy masalani chekli ayirmalar usuli bilan yeching [8, 15].
Yechish. Masala shartiga ko‘ra
, , , , ,
, , , , , .
Faraz qiaylik, bo‘lsin, bundan bo‘ladi.
Bunday qadam bilan ning turli qiymatlari uchun berilgan funksiyalarning qiymatlari 1-jadvalda keltirilgan.
a) Dastlab chegaraviy shartlardagi hosilalar 1-tartibli approksimatsiyaga ega holni qaraymiz.
(9) dan bo‘lganda quyidagiga ega bo‘lamiz
,

(9) dan bo‘lganda quyidagilarni topamiz

,

,
Ketma-ket (9) formulani qo‘llab larda ham progonka koeffisiyentlarini topamiz. uchun bo‘ladi. Hisoblash natijalari 1-jadvalda keltirilgan.
(8) formula bo‘yicha teskari progonka bilan dan boshlab indeksning kamayib borish tartibida yechimlarni topamiz, uchun esa bo‘ladi. Demak,

Hosil qilingan yechim qiymatlari 1-jadvalda keltirilgan. Matlab paketlaridan foydalanib [10, 13, 23], ushbu chegaraviy masala aniq yechimini topamiz (agar mavjud bo‘lsa):
>>dsolve('D2y-2*x*Dy-2*y=-4*x','y(0)-Dy(0)=0','y(1)=1+exp(1)','x')
ans=exp(x^2)+x
Demak, berilgan masala ko‘rinishdagi aniq yechimga ega, aniq yechim qiymatlari va sonli yechimning aniq yechimga nisbatan absolyut xatoliklari ( ) 1-jadvalda keltirilgan. 1-rasmda esa aniq va sonli yechimlar grafigi ko‘rsatilgan. Ichki tugunlarda chekli ayirmali approksimatsiya qadamga nisbatan ( ) ikkinchi tartibga ega, ammo chegaraviy tugunlarda esa hosilalar birinchi tartibli chekli ayirmali approksimatsiyaga ega. Analitik va sonli yechimlarni taqqoslash natijalardan ko‘rinib turibdiki (2-jadval, 1-rasm) sonli yechim aniq yechimga yaqinlashayapdi, ammo aniq yechim va sonli yechim orasidagi absolyut xatolikning maksimal qiymati ga teng. Xatolikni chegaraviy shartlardagi 1-tartibli hosilalarni ikkinchi tartibli chekli-ayirmali approksimatsiyaga keltirib kamaytirish mumkin.
1-jadval. Yechimni hisoblash natijalari


0	0,0	0,0	-2,0	0,0	0,0000	0,9091	1,0465
1	0,1	-0,2	-2,0	-0,4	0,0036	0,8985	1,1512
2	0,2	-0,4	-2,0	-0,8	0,0106	0,8881	1,2772
3	0,3	-0,6	-2,0	-1,2	0,0207	0,8776	1,4262
4	0,4	-0,8	-2,0	-1,6	0,0339	0,8670	1,6015
5	0,5	-1,0	-2,0	-2,0	0,0501	0,8561	1,8081
6	0,6	-1,2	-2,0	-2,4	0,0693	0,8449	2,0534
7	0,7	-1,4	-2,0	-2,8	0,0916	0,8334	2,3482
8	0,8	-1,6	-2,0	-3,2	0,1169	0,8215	2,7078
9	0,9	-1,8	-2,0	-3,6	0,1453	0,8092	3,1540
10	1,0	-2,0	-2,0	4,0	3,7183	0,0000	3,7183

b) Endi esa chegaraviy shartlardagi hosilalar 2-tartibli approksimatsiyaga ega bo‘lgan (16), (17) holni qaraymiz. (9) dan bo‘lganda quyidagiga ega bo‘lamiz

1-rasm. aniq va sonli yechimlar grafigi

2-jadval


0,0	1,0465	1,0000	0,0464
0,1	1,1512	1,1101	0,0411
0,2	1,2772	1,2408	0,0364
0,3	1,4262	1,3942	0,0364
0,4	1,6015	1,5735	0,0320
0,5	1,8081	1,7840	0,0280
0,6	2,0534	2,0333	0,0241
0,7	2,3482	2,3323	0,0201
0,8	2,7078	2,6965	0,0113
0,9	3,1540	3,1479	0,0061
1,0	3,7183	3,7183	0,0000

,
,
da (9) formuladan quyidagilarni topamiz

,

.
Shu tarzda ketma-ket (9) formulani qo‘llab, larda progonka koeffisiyentlarini topamiz va ularni 3-jadvalga joylashtiramiz.
Yuqoridagidek (8) formula yordamida teskari progonka bilan dan boshlab indeksning kamayib borish tartibida yechimlarni topamiz, uchun esa bo‘ladi. Demak,

Hisoblash natijalarini 3-jadvalga joylashtiramiz. Tugunlarda sonli yechimning aniq yechimga nisbatan absolyut xatoligini topamiz va ularni ham 3-jadvalga joylashtiramiz. Analitik va sonly yechimlarni taqqoslashdan ko‘rinib turibdiki (3-jadval), chekli-ayirmali approksimatsiya haqiqatdan ham qadamga nisbatan 2-tartibga ega ( ).

3-jadval.


0	0,0	0,0000	0,9009	1,0019	1,0000	0,0019
1	0,1	0,0036	0,8918	1,1121	1,1101	0,0021
2	0,2	0,0105	0,8826	1,2430	1,2408	0,0022
3	0,3	0,0206	0,8732	1,3964	1,3942	0,0022
4	0,4	0,0336	0,8634	1,5757	1,5735	0,0022
5	0,5	0,0497	0,8532	1,7861	1,7840	0,0021
6	0,6	0,0687	0,8426	2,0353	2,0333	0,0019
7	0,7	0,0908	0,8315	2,3340	2,3323	0,0016
8	0,8	0,1159	0,8200	2,6977	2,6965	0,0012
9	0,9	0,1441	0,8080	3,1486	3,1479	0,0007
10	1,0	3,7183	0,0000	3,7183	3,7183	0,0000

tải về 163.67 Kb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn: