TÍch của hai vectơ Bài 1: Tính tích vô hướng của 2 vecto



tải về 48.62 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu23.07.2016
Kích48.62 Kb.
TÍCH CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Tính tích vô hướng của 2 vecto.

Phương pháp:

-Tính

-Áp dụng công thức

Thí dụ :

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB =AC = a . Tính





BÀI TẬP

1.Cho hình vuông ABCD có cạnh a . Tính ĐS: 0 ; a2

2.Cho tam giác ABC vuông tại C có AC = 9 và BC = 5. Tính ĐS:81

3.Cho tam giác ABC có AB=2 BC = 4 và CA = 3.



HD:



Bài 2:Chưng minh một đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vô hướng hay đẳng thức các độ dài .

Phương pháp :

-Ta sử dụng các phép toán về vec tơ và các tính chất của tích vô hướng .

-Về độ dài ta chú ý :AB2 =

Thí dụ1 : Cho tam giác ABC . và M là một điểm bất kỳ .

1.Chứng minh rằng

2.Gọi G là trọng tâm tam giác chứng minh

3.Suy ra với a ; b ;c là độ dài 3 cạnh của tam giác

Chưng minh





BÀI TẬP:

1.Cho 2 điểm cố định A và B và M là một điểm bất kỳ .H là hình chiếu của M lên AB và I là trung điểm của AB.Chứng minh rằng :

2.Cho tứ giác ABCD .

a.Chứng minh rằng

b. Chưng minh điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc là :AB2+CD2=BC2+AD2

3.Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền BC = a3 .Gọi M là trung điểm của BC biết

4.Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R .Gọi M và N là 2 điểm thuộc nữa đương tròn và AM và BN cắt nhau tại I.

a.Chưng minh

:b,Từ đó tính theo R

5.Cho tam giác ABC có trực tâm H và M là trung điểm BC Chứng minh

6.Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M và P là trung điểm của AD . Chứng minh


Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định hình dạng của tam giác ABC.

Phương pháp :

–Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC đều .

–Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân

–Nếu AB = AC và BC = AB2 => Tam giác ABC vuông cân tại B

–Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vuông tại A
Thí dụ 1:

TRong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng của tam giác ABC . Tính diện tích tam giác ABC.

GIẢI :


Thí dụ 2:Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng của tam giác ABC ,Tính diện tích của tam giác ABC và chiều cao kẻ từ A.

vuông cân tại A

S=5đvdt


Thí dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0)

Chứng minh tam giac OAB đều . .Tìm trực tâm của tam giác OAB

Giải :



Bài Tập :

1. Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) và C(0;3).Xác định hình dạng của tam giác ABC .Tìm Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

ĐS: Vuông tại A , Tâm I (–1;1)

2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) và C(m+3; 1) .Định m để tam giác ABC vuông tại A. ĐS:m = –1 hay m =-2

3. Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) và C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC vuông từ đó suy ra khoảng cách từ C đến AB.

4.Ch 2 điểm A (2 ; –1) và B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ là 2 và tam giác ABM vuông tại C .

ĐS: M(1;2) và M(–1;2)

5.Trong mpOxy cho 2 điểm A(2;4) và B(1 ; 1) . Tìm điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B .

ĐS: C(4;0) và C(–2;2)
Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định trọng tâm G , trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp :

–Trọng tâm G



Tìm trực tâm H

-Gọi H(x;y)là trực tâm của tam giác ABC



Do H là trực tâm  Giải hệ trên tìm x ; y



Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I(x;y) . Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2

I là tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC AI = BI =CI

Giải hệ trên tìm x ; y

Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) và C(–2 ;–1) .

a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang.

GIẢI

BÀI TẬP:

1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) .Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.

HD: Tìm tâm I của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh IA =ID.

2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) và C(4;0).Xác định trực tâm H của tam giác ABC.

ĐS:

3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) . Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ĐS:

4.Trong mpOxy cho 2 điểm A(–2;–2) và B(5 ;–4) .

a)Tìm điểm C sao cho trọng tâm của tam giác ABC là điểm G(2;0) ĐS:C(3;6)

b)Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ĐS I

5.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) và C(1;5) .Tìm trực tâm H của tam giác ABC .

ĐS:

B

ài 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Phương Pháp:

–Tính AB ;AC; k =-AB/AC

–Gọi D là giao điểm đường phân giác trong của góc A với cạnh BC



tọa độ của D.

–Tính BA và BD =k’= –BA/BD

–Gọi J là giao điểm của 2 đường phân giác trong của góc A và góc B

=>=>tọa độ của J

Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–2;3) B và C(2;0)

Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC.



GIẢI



Bài tập:

1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(2;6) B(–3;–4) và C(5;0)

a.Chứng minh tam giác ABC vuông .

b.Tìm tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. ĐS : J(2;1)

2. Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm J của đương tròn nội tiếp tam giác ABC . ĐS J(1;0)

3. Trong mpOxy cho tam giác ABC vớiTìm tâm J của đương tròn nội tiếp tam giác ABC . ĐS J(-1;2)

Bài 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3).Gọi A’ là chân đường vuông góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’

Phương pháp:

Gọi A’(x;y).



Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1 ; 5) B(3;–1) C(6;0).Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA.

GIẢI:



BÀI TẬP:

1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(3;–1) B(1;5) và C(6;0) . Gọi A’ là chân đường cao kẻ từ A lên BC tìm A’ . ĐS:A’(5;1)

2.Trong mpOxy cho 2 điểm A(2;1) B(–2;4) . Gọi H là hình chiếu của O lên AB . Tìm H . ĐS:H

3.Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4) B(–4;–2) và C(1;3) .Tìm chân đường cao A’ của đường cao kẻ từ A lên BC. ĐS:A’

Bài 7

Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3),Tính cosA.

Phương pháp :



Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) và C(–6;1).Tínhsố đo của góc A.



.

BÀI TẬP TÍCH VÔ HƯỚNG
1.Cho hai vectơ và. Chứng minh rằng :

.= = =



2.Cho hai vectơ , có = 5 , = 12 và = 13.Tính tích vô hướng .( + ) và suy ra góc giữa hai vectơ và +

3.Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi H là trung điểm BC,tính

a) . b). c) .



4.Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính:

a). b). c) .



5. Tam giác ABC có AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90o ,tính .

6. Tam giác ABC có AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120o

a)tính . b) Gọi M là trung điểm AC tính .



7. Tam giác ABC có AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8

a)Tính . rồi suy ra giá trị góc A

b)Tính .

c)Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA .Tính .



8.Cho hai vectơ và thỏa mãn || = 3 , || = 5 và (,) = 120o

Với giá trị nào của m thì hai vectơ + m và – mvuông góc nhau



9. Tam giác ABC có AB = 4 ,AC = 8 và góc A = 60o .Trên tia AC lấy điểm M và đặt = k.Tìm k để BM vuông góc với trung tuyến AD của tam giác ABC

10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a và hai trung tuyến BM, CN vuông góc nhau . Tính cosA

11. Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11

a)Tính .


b)Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 4.Tính .

12.Cho O là trung điểm AB,M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng :

. = OM2 – OA2



13.Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm thuộc cạnh BC.Tính .

và .


14.Cho tứ giác ABCD , I là trung điểm BC, chứng minh rằng :

a) . = IA2 – IB2

b) . = (AB2 + AC2 – BC2)

c) . = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2)



15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng :

MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2



16.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Gọi G là trọng tâm,hãy tính:

a) . b). c) . + . + .

d) Chứng minh rằng : . + . + . = – (a2 + b2 + c2)

e)Tính AG theo a ,b ,c



17.Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng :

. + . + .= 0



18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N là hai điểm trên (O) và I = AM∩BN. Chứng minh rằng :

a) . = .


b) . = .

c) . + .= 4R2



19.Cho 4 điểm A,B,C,D tuỳ ý

a) Chứng minh rằng : .+ .+ .= 0

b)Từ đó chứng minh rằng trong một tam giác,ba đường cao đồng qui

20.Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi H là trung điểm của BC,và D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM BD

21.Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và CD. Chứng minh rằng : AN  DM

22.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC, M và N lần lượt là trung điểm của AK và DC . Chứng minh rằng : BM  MN

23.Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện giữa a ,b ,h để

a) AC  BD b) IA  IB với I là trung điểm CD



24.Cho tam giác ABC có AB = 3 ;AC = 6 và A = 45o . Gọi L là chân đường phân giác trong của góc A

a)Tính .


b)Tính theo và  độ dài của AL

c)M là điểm trên cạnh AC sao cho AM = x. Tìm x để AL  BM



25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a và A = 120o

a) Tính BC và .

b)Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = x. Tính theo và ,x

c)Tìm x để AN  BM



26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng:

AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2.



27.Cho tam giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm của BC

Chứng minh rằng : . = BC2



28.Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H ,K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABO và CDO; I và J là trung điểm của AD và BC.

Chứng minh rằng HK  IJ

28.Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AA’ ,BB’ vuông góc nhau tại S. Gọi M là trung điểm của AB. chứng minh rằng: SM  A’B’

29.Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn :

a) . = .


b) MA2 + . + . = 0

c) MA2 = .

d) (+ ).(+ ) = 0

e) ( – ).(2 – ) = 0



30.Cho điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng , H là hình chiếu của A trên .Với mỗi điểm M trên , ta lấy điểm N trên tia AM sao cho . = AH2. Tìm quĩ tích các điểm N

31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M,gọi P là trung điểm đoạn thẳng AD.

Chứng minh rằng MP  BC  .= .



32*. Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng:

(.) + (.) +(.) =



33.Cho hình vuông ABCD,điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM =

N là trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân



34.Cho AA’ là một dây cung của đường tròn (O) và M là một điểm nằm trên dây cung đó. Chứng minh rằng 2.= MA(MA – MA’)

35.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M sao cho các góc AMB ,BMC ,CMA đều bằng 120o .Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt đường tròn (O) lần lượt tại A’ ,B’ ,C’. Chứng minh rằng:

MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’



36*.Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , M là trung điểm cạnh CB

a)Xác định trên đường thẳng AC một điểm N sao cho tam giác MDN vuông tại D.Tính diện tích tam giác đó.

b)Xác định trên đường thẳng AC một điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại M.Tính diện tích tam giác đó.

c) Tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD



37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý,chứng minh rằng :

a) + = +


b) . = .

c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2

d) MA2 + . = 2.

38.Cho tam giác ABC và các hình vuông ABED, ACHI ,BCGH

Chứng minh rằng :

a) (+ ).= 0

b) (+ + ).= 0

c) + + =

d) + + =

39.Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN

a) Tính vectơ vàtheo hai vectơ và

b)Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho AM  CN

40.a)Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O,R). M là một điểm tuỳ ý trên đường tròn . Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2

b) Tổng quát bài toán trên cho một đa giác đều n cạnh



41*.Cho lục giác đều A1A2…A6 nội tiếp trong đường tròn (O,R) và một điểm M thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng :

a) cos + cos + …+ cos= 0

b) MA12 + MA22+ …+ MA62 là một hằng số ( = 12R2)

45.Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 , góc BAC = 120o nội tiếp trong đường tròn tâm I. Gọi D là trung điểm AB và E là trọng tâm của tam giác ADC

a)Tính .


b)AH là đường cao của tam giác ABC.Tính theo và

c)Chứng minh rằng IE  CD



49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1)

Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân tại A



50 .Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1)

a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b)Kẻ đường cao AH .Tìm tọa độ chân đường cao H

51.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và D(0;– 2). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân

52.Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0)

a)Chứng minh rằng: 3 điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác



b)Tính góc B của tam giác ABC

53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trên trục hoành.Tìm giá trị nhỏ nhất của

54.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn

55.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn



- -


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2016
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương