Các bài toán thuộc chủ đề này có trong các đề thi tốt nghiệp,đại học và cao đẳng

Nội dung chính thường có hai phần

 Sử dụng phương phương pháp thể tích để tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , hoặc khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

 Xác định và tìm độ dài đường cao của khối đa diện. Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích đôi khi ta xác định ngay từ đầu bài, nhưng cũng có trường hợp xác định này phải dựa vào các định lý quan hệ vuông góc (Kiến thức hay dùng nhất : Định lý ba đường vuông góc, các điều kiện để một đường thẳng vuônggóc với một mặt phẳng .....). Việc tính các chiều cao thông thường dựa vào các hệ thức của tam giác. Đặt biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông.

 Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen thuộc.
Chủ đề 1 : Hình chóp cạnh bên vuông góc mặt đáy. (Đường cao khối chóp là cạnh bên vuông góc mặt đáy)
Vấn đề 1 : Hình chóp có đáy tam giác
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC trong các trường hợp sau:

 ABC là tam giác vuông tại B

a)

b)

c) .

d) , AC = 5a, .

e) , BC = 4a,

f) , BC = 4a, .

g) AB = a, , .

h) , BC = 6a, . Kẻ AK vuông góc SC. Tính ?

i), BC = 4a, . Mặt phẳng (P) qua A vuông góc SB cắt SB và SC lần lượt tại H, K. Tính ?

j) CD 2011 M là trung điểm SC, SA = a, AB = BC, . .

k) A 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

l) Dự bị 03 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

m) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , , , khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. ( Ứng dụng thể tích)

n) TN 2008 lần 2 Phân ban

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc

với mặt phẳng (ABC) , , , SA =3ª

 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

 Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.

p) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, ,

 Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng () qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
 (Tam diện vuông)

a) D2002 Cho hình tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = SA = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCS). (Ứng dụng thể tích)

 Đáy tam giác cân

a) Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc , biết và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45^o . Tính thể tích khối chóp SABC.

b) TNPT 2009 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a ?

c) Dự bị 04 Cho hình chóp S.ABC có SB = 3a và SA  (ABC). Tam giác ABC có BA = AC = a, góc BAC bằng 120⁰. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). (Ứng dụng thể tích)

d) Cho hình chóp S.ABC có và có Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).

a) SA = 2a, ABC là tam giác đều cạnh a.

b) SA = a , .Tính thể tích khối chóp SABC .

c) TN 2011 GDTX Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA vuông góc với mặt (ABC) và SB = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a?

d) , ABC là tam giác đều cạnh a.

e) , ABC là tam giác đều cạnh a.

f) Cho hình chóp SABC có SA = AB = BC = CA = a . Hai mặt (SAB) và (ASC) cùng vuông góc với (ABC). Tính thể tích hình chóp .

g) SA = 2a, ABC là tam giác đều cạnh a. M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính

h) D2006 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

k) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,đường cao SA = a. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK.

 Đáy tam giác thường:

1. 
   AB = a , AC = 3a, , SC = 5a
   
2. 
   AB = 2a , AC = 3a, BA= 4a, SC = 5a
   
3. 
   AB = 2a , AC = 3a, BA= 4a, .
   
4. 
   AB = a , AC = 3a, ,
   

 ABCD là hình chữ nhật.

1. 
   AB = 2a, AD = 3a, SA = 4a.
   
2. 
   AB = a, BD = 3a, SC = 4a.
   
3. 
   AB = a, BD = 3a,
   
4. 
   AB = 2a, BD = ,
   
5. 
   AB = 2a, BD = ,
   

g) B2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

h) Dự bị 2 A–06 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60⁰. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
 ABCD là hình vuông

a) ABCD là hình vuông có cạnh a và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60^o.

1) Tính thể tích hình chóp SABCD.

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

b) SC = a và SC hợp với đáy một góc 60^o .

c) TN 2010 PT ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

e) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.

 Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

 Chứng minh

 Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

f) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông

góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng và M là trung điểm của SB.

 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

 Tính thể tích của khối chóp MBCD.
 Đáy hình thang vuông.

a) ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a (SCD) hợp với đáy một góc 60^o. Tính thể thích khối chóp S.ABCD.

b)TN 2011 PT Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a , AB =3 a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
 Hình bình hành, hình thoi

a) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh , và . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’.

 Tìm thể tích hình chóp S.ABCD

 Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’

b) Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60^o và SA (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD.

c) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh SA vuông góc với mp(ABCD). Mặt phẳng () qua AB cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N và chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số

a) cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h.

b) cạnh bên bằng b, chiều cao bằng h.

c) cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng a.

Suy ra tứ diện đều ;

d) TN 2008 lần 1 Phân ban

Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã c¹nh ®¸y b»ng a, c¹nh bªn b»ng 2a. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC.

1) Chøng minh SA vu«ng gãc víi BC.

2) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABI theo a.

d) cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc .

e) cạnh bên bằng b, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc .

f) cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy một góc .

g) cạnh bên b, mặt bên tạo với mặt đáy một góc .

h) cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt bên liên tiếp bằng .

k) cạnh bên bằng b, góc giữa hai mặt bên liên tiếp bằng .

l) Cạnh đáy bằng a, góc .

m) Cạnh bên bằng b, góc .

a) cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h.

b) cạnh bên bằng b, chiều cao bằng h.

c) cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng a.

d) cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc .

e) cạnh bên bằng b, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc .

f) cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy một góc .

1. 
   Tam giác SAB đều cạnh a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B.
   
2. 
   Tam giác SAB cân tại S, SC = 3a, tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a.
   
3. 
   Tam giác SAB cân tại S, SC tạo với mặt đáy 1 góc , tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a.
   
4. 
   Tam giác SAB vuông tại S, ; tam giác ABC cân tại C, SC =
   

5. 
   Tam giác SAB đều cạnh a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B.
   
6. 
   Tam giác SAB cân tại S, SC = 3a, tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a.
   
7. 
   Tam giác SAB cân tại S, SC tạo với mặt đáy 1 góc , tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a.
   
8. 
   Tam giác SAB vuông tại S, ; tam giác ABC cân tại C, SC =
   

SA = SB = SC = SD. Biết AB =3a, BC =4a và SAO =45. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a..

TN 2012 PT

TN 2012 GDTX.