Cơ sở và con đường hình thành từ số tự nhiên đến phân số

Để giải quyết tính đóng kín trong phép chia cũng như một số vấn đề thực tiến trong cuộc sống như chia một vật ra thành nhiều phần bằng nhau hay ghi lại số đo khi chúng không là một số tự nhiên lần đơn vị đo…mà tập số được mở rộng từ số tự nhiên sang phân số. Trong quá trình mở rộng trên, phân số được tiếp cận theo 4 cách sau đây:

• 
  Cách tiếp cận dựa trên số phần của cái toàn thể
  

• 
  Cách tiếp cận dựa trên đo lường
  

• 
  Cách tiếp cận dựa trên phép chia
  

• 
  Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết tập hợp
  

Dạy học phân số ở Tiểu học nhằm cung cấp cho học sinh một loại số mới, biểu diễn được thương đúng của hai số tự nhiên, cũng nhằm đáp ứng nhu cầu biểu diễn chính xác các số đo đại lượng trong đời sống thực tiễn. Phân số được đưa vào dạy một cách đầy đủ và chính thức ở lớp 4, nhưng cũng là sự tiếp nối mạch kiến thức ở lớp 2 và lớp 3.

Ở lớp 2, người ta đã ngầm giới thiệu về khái niệm “phần bằng nhau” qua bài “Phép chia” (trang 107, SGK Toán 2). SGK cũng đưa thêm nhiều bài tập theo kiểu tiếp cận so sánh số lượng của một bộ phận của tập so với toàn tập đó chứ không giới thiệu trực tiếp về phân số (như các bài: một phần hai, một phần ba, một phần tư,...).

Lớp 3 mang lại cho học sinh cách tiếp cận phân số theo đơn vị diện tích của một số hình cơ bản như hình vuông, hình chữ nhật...Các hình này được chia thành các phần bằng nhau, người ta tác động đến một số phần nào đó, từ đó làm nảy sinh khái niệm phân số. Ví dụ bài tập 4/25 SGK Toán 3.

Tóm lại, SGK toán 2, 3 chỉ đề cập đến các phân số đơn vị. Tác giả không nêu tên phân số mà chỉ đề cập đến các phần bằng nhau. Phân số được xem là công cụ ngầm ẩn để giải quyết dạng toán “ tìm một trong các phần bằng nhau của một số”.

Đến lớp 4, cách tiếp cận phân số như sau:

Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần

Ta nói: đã tô năm phần sáu hình tròn.

Ta viết: , đọc là năm phần sáu.

Ta gọi là phân số.

Phân số có tử số là 5, mẫu số là 6.

Mẫu số là số tự nhiên viết dưới gạch ngang. Mẫu số cho biết hình tròn được chia thành 6 phần bằng nhau.

Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Tử số cho biết 5 phần bằng nhau đã được tô màu.

Như vậy, SGK Toán 4 giới thiệu khái niệm phân số qua vệc chia cái toàn thể ra làm b phần bằng nhau. Sau đó lấy a phần trong số b phần đó. Như vậy có được phân số . Cách trình bày này phù hợp với cách được đề cập trong lịch sử của phân số.

Thêm vào đó, SGK Toán 4 trang 106 còn nêu cách viết mãu số, tử số và điều kiện của mẫu số thông qua nhận xét “Mỗi phân số có tử số và mẫu số. Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là số tự nhiên khác không viết dưới gạch ngang.”

Ngoài ra, trong bài “ Phân số và phép chia số tự nhiên” , qua ví dụ “Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần của cái bánh?” ta thấy rằng tại đây, phân số được tiếp cận dựa trên kết quả của những phép chia không hết. Từ tình huống thực tiễn nảy sinh nhu cầu mới của toán học, từ đó xuất hiện phân số.

Từ nhận xét “Thương của phép chia số tư nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia.” (SGK Toán 4 trang 108) ta thấy đã giải quyết được việc không thể biểu diễn được kết quả những phép chia có dư của số tự nhiên, cho phép phương trình b x x = a luôn có nghiệm. Đồng thời giới thiệu thêm phân số có tử số lớn hơn mẫu số mà cách tiếp cận đầu tiên không giải quyết được.

Bên cạnh đó, trang 108 SGK Toán 4 có viết “Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1.” đã thể hiện mối quan hệ bao hàm giữa phân số và số tự nhiên.

Dạy học phân số trong Toán 4 không chỉ nối tiếp mạch kiến thức lớp 2, 3, đồng thời là cơ sở vững chắc để dạy học về phân số thập phân, hỗn số ở lớp 5. Từ đó, chuẩn bị cho việc hình thành số thập phân.

1.3.2.3.Cơ sở và con đường hình thành từ phân số đến số thập phân

Số thập phân trong chương trình Tiểu học được hình thành trên cơ sở phân số thập phân. Các phân số có mẫu số là 10, 100, 1000 gọi là các phân số thập phân. Ví dụ: , , ,... Một phân số có thể viết thành phân số thập phân. Ví dụ:

Dựa vào bảng đơn vị đo độ dài có ghi tên đơn vị m, dm, cm, mm để ghi lại mối quan hệ giữa 1dm với m, 1cm với m và 1mm với m. Sau đó đưa ra phân số thập phân và cách viết khác của nó. Cuối cùng giới thiệu những cách viết khác đó là số thập phân, cách đọc, cách viết. Cụ thể:

M	dm	cm	mm
0	1
0	0	1
0	0	0	1

1dm hay m còn được viết thành 0,1m.

1cm hay m còn được viết thành 0,01m.

1mm hay m còn được viết thành 0,001m.

Các phân số thập phân , , được viết thành 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

0,1 đọc là: không phẩy một; 0,1 .

0,01 đọc là: không phẩy không một; 0,01.

0,001 đọc là: không phẩy không không một; 0,001.

Các số 0,1 ; 0,01 ; 0,001 gọi là số thập phân.

Tương tự các số 0,5 ; 0,07 ; 0,009 cũng là số thập phân. Theo cách này thì các phân số có mẫu số là 10, 100, 1000,... đều được viết dưới dạng số thập phân có phần nguyên là 0 và phần thập phân là tử của phân số đó khi phân số đó bé hơn 1.

Căn cứ vào các mẫu số của các phân số để viết phần thập phân của số thập phân (mẫu số có bao nhiêu chữ số 0 thì phần thập phân phải có đủ bấy nhiêu chữ số. Nếu các chữ số của tử số chưa đủ thì phải thêm các chữ số 0 vào bên trái các chữ số của tử số.

SGK cũng đưa ra trường hợp số đo dưới dạng hỗn hợp. Theo cách này thì số thập phân được hiểu là cách viết lại các số tự nhiên theo các đơn vị đo khác nhau(các đơn vị kế tiếp hơn kém nhau 10 lần) dưới một đơn vị đo duy nhất. Trong trường hợp này, các số đo được viết lại dưới dạng hỗn số. Phần nguyên của hỗn số cũng chính là phần nguyên của số thập phân, phần thập phân là tử số của phân số thập phân trong hỗn số đó. Cụ thể: 2m 7dm hay 2m được viết thành 2,7m.

8m 56cm hay 8m được viết thành 8,56m.

0m 195mm hay 0m và m được viết thành 0,195m.

Các số 2,7 ; 8,56 ; 0,195 cũng là số thập phân.

Căn cứ vào thứ tự các đơn vị trong bảng đơn vị đo đại lượng, nếu đơn vị nào còn thiếu cần được bổ sung bằng một chữ số 0 (nếu các đơn vị kế tiếp hơn kém nhau 10 lần), hoặc hai chữ số 0 (nếu các đơn vị kế tiếp hơn kém nhau 100 lần). Có thể thêm chữ số 0 vào phần nguyên hoặc phần thập phân của số thập phân.

Ví dụ: 12dm 2mm = 12,02 dm ; 2m 5mm = 20,05 dm

Tùy vào đơn vị muốn biểu diễn mà thêm vào các chữ số 0 và đánh dấu phẩy sau chữ số thể hiện đơn vị đó cho thích hợp. Đây cũng là cơ sở cho việc so sánh và đổi các dơn vị đo đại lượng.

Số thập phân là một trong các mạch kiến thức cơ bản của chương trình Toán 5. Dạy học số thập phân không chỉ cung cấp cho học sinh những hiểu biết về một loại số mới, mở rộng tập số mà đồng thời hình thành và phát triển kĩ năng giải toán cho học sinh. Số thập phân được thể hiện trong rất nhiều nội dung đa dạng trong chương trình toán 5 bao gồm những nội dung sau:

Nêu khái niệm ban đầu về số thập phân: khái niêm, hàng của số thập phân, đọc, viết

số thập phân.

1.3.3.2. So sánh số thập phân

1.3.3.3. Các phép tính về số thập phân

-Phép cộng và phép trừ số thập phân có đến 3 chữ số ở phần thập phân, có nhớ không quá 3 lần.

-Phép nhân các số thập phân có tích là số thập phân có không quá 3 chữ số ở phần thập phân, gồm:

+Nhân một số thập phân với một số tự nhiên

+Nhân một số thập phân với 10, 100, 1000,...

+Nhân một số thập phân với một số thập phân

-Phép chia các số thập phân , thương là số tự nhiên hoặc số thập phân có không quá 3 chữ số ở phần thập phân, gồm:

+Chia một số thập phân cho một số tự nhiên

+Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000,...

+Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên thương tìm được là một số thập phân

+Chia một số tự nhiên cho một số thập phân

+Chia một số thập phân cho một số thập phân

-Viết và chuyển số đo đại lượng dưới dạng số thập phân , bao gồm:

+Viết các số đo độ dài dưới dạng số thập phân

+Viết các số đo khối lượng dưới dạng số thập phân

+Viết các số đo diện tích dưới dạng số thập phân

-Giải toán về số thập phân

Qua hai tiết học, chương trình toán 5 đưa ra khái iệm số thập phân như sau:

“ Mỗi số thập phân gồm hai bộ phận: phần nguyên và phần thập phân, chúng được phân cách bởi dấu phẩy

Những chữ số ở bên trái dấu phẩy thuộc về phần nguyên, những chữ số ở bên phải dấu phẩy thuộc về phần thập phân.”

Ví dụ: 8 , 56

Phần nguyên Phần thập phân

8,56 đọc là : tám phẩy năm mươi sáu.

Hình thành số thập phân là một quá trình có nhiều giai đoạn. Trong mỗi giai đoạn có những bước nhất định đi theo một quy tắc nhất quán chặt chẽ. Quá trình này giới thiệu cho học sinh các số thập phân từ đơn giản đến phức tạp, từ đó giúp các em có cái nhìn tổng quát lại cụ thể về hình dạng, cấu tạo của số thập phân. Có 3 giai đoạn, mỗi giai đoạn có các bước sau:

Số đo độ dài

Số đo độ dài viết dưới dạng số thập phân hoặc hỗn số chứa phân số thập phân

Cách viết thuận tiện hơn của số đo độ dài

Giới thiệu cách viết đó là số thập phân

Cụ thể:

1cm hay m còn được viết thành 0,01m.

1mm hay m còn được viết thành 0,001m.

Các phân số thập phân , , được viết thành 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

0,1 đọc là: không phẩy một; 0,1 .

0,01 đọc là: không phẩy không một; 0,01.

0,001 đọc là: không phẩy không không một; 0,001.

Các số 0,1 ; 0,01 ; 0,001 gọi là số thập phân.

Số thập phân được giới thiệu trong chương trình toán ở Tiểu học là dạng số thập phân hữu hạn, dạng đơn giản nhất của số thập phân (phần thập phân là hữu hạn chữ số, ví dụ: 5,23 ; 378,567 ; 1269,099 ). Lên trung học cơ sở,các em sẽ học thêm hai dạng khác của số thập phân là số thập phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ: 0,555555… hay 0,(5)) ; 5,275275…hay 5,(275)) và số thập phân vô hạn không tuần hoàn ( ví dụ: 2,56387…; 3,46656878…) .

Sự hình thành số thập phân trong chương trình Tiểu học được tiến hành từ dễ đến khó theo 3 dạng như sau:

Đầu tiên, SGK giới thiệu cho học sinh những số thập phân đơn giản nhất. Các số này có phần nguyên là 0, phần thập phân chỉ gồm hai chữ số 0 và 1. Sự đồng dạng này dựa vào mối quan hệ giữa 1dm, 1cm, 1mm với m. Mỗi đơnvị sau kém đơn vị liền trước 10 lần. Đơn vị càng về sau, phần thập phân của số thập phân càng được biểu diễn bởi càng nhiều số.

Tiếp theo, dạng số thập phân vẫn có phần nguyên là 0 nhưng phần thập phân được biểu diễn bởi nhiều số hơn. Ví như: 0,5 ; 0,07 ; 0,009. So với lúc đầu, quan niệm số thập phân của các em đã được mở rộng hơn. Nhưng tại đây vẫn chưa đưa ra khái niệm số thập phân mà chỉ giới thiệu một số dạng số thập phân cụ thể. Vì vậy bài tập sau tiết học này cũng chỉ nhằm củng cố mối liên hệ mật thiết giữa phân số thập phân và số thập phân. Chủ yếu là các bài tập đọc các phân số thập phân và chuyển từ phân số thập phân sang số thập phân.

Nhưng nếu chỉ dừng lại ở tiết học thứ nhất,các em rất dễ nhầm lẫn số thập phân chỉ là những số bé hơn 1(có phần nguyên là 0). Ở tiết học thứ hai, SGK đã giải quyết vấn đề này, đưa ra những số thập phân có dạng: phần nguyên là những số khác 0 hoặc là 0 như: 2,7 ; 8,56 ; 0,195. Chúng được hình thành từ số tự nhiên với nhiều đơn vị đo khác nhau (2m 7dm, 8m 56cm, 0m 195mm) chứ không đơn thuần từ một đơn vị (1dm, 5dm, 9mm, 1cm). Từ các đơn vị đo độ dài chuyển sang hỗn số có chứa phân số thập phân rồi viết dưới dạng số thập phân. Tới đây, học sinh đã có hiểu biết khái quát về hình dạng và cấu tạo số thập phân. Vì vậy hình thành khái niêm số thập phân là hợp lí. Qua quá trình hình thành khái niệm này, ta có thể nói rằng, số thập phân chính là cách viết không có mẫu số của phân số thập phân.

Cũng như tiết trước, các bài tập cũng đi từ quan sát, đọc, chuyển từ hỗn số sang số thập phân để củng cố kiến thức. Ở bài tập 3/37 SGK Toán 5 quá trình ngược lại từ các số thập phân đã cho viết thành phân số thập phân. Các số thập phân này đều là những số thập phân đơn giản: 0,1 ; 0,02 ; 0,004 ; 0,095. Bài tập này nhằm khắc sâu nguồn gốc và quá trình hình thành số thập phân từ phân số thập phân. Đồng thời cũng là một bước đệm cho học sinh ở THCS về cách đổi số thập phân ra phân số. Để làm được bài tập này, ta làm theo các bước sau:

- Xác định số chữ số ở phần thập phân.

- Xác định mẫu số của phân số thập phân: 10, 100, 1000,…phần thập phân có bao nhiêu chữ số thì mẫu có bấy nhiêu chữ số 0)

- Tử số của phân số thập phân là số ở phần thập phân của số thập phân đã cho.

Ví dụ: 0,23; 12,578

2.1.2. Hàng của số thập phân. Đọc , viết số thập phân

a) Hàng của số thập phân

Hàng của số thập phân cũng giống như khái niệm hàng của số tự nhiên đều dùng để chỉ giá trị của chữ số được nhắc đến trong số đó. Cụ thể như sau:

Số thập phân	3	7	5	,	4	0	6
Hàng	Trăm	Chục	Đơn vị		Phần mười	Phần trăm	Phần nghìn
Quan hệ giữa các đơn vị của hai hàng liền nhau	Mỗi đơn vị của một hàng bằng 10 đơn vị của hàng thấp hơn liền sau
	Mỗi đơn vị của một hàng bằng (hay 0,1) đơn vị của hàng cao hơn liền trước.

Số thập phân được dấu phẩy chia làm hai phần là phần nguyên và phần thập phân. Phía bên trái, hàng của phần nguyên trong số thập phân giống với số tự nhiên. Từ phải sang trái, bắt đầu từ số đứng gần dấu phẩy nhất là hàng đơn vị, tiếp theo là hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, chục nghìn,…

Khác với số tự nhiên, số thập phân có thêm phần thập phân bên trái dấu phẩy. các hàng lần lượt từ gần đến xa dấu phẩy là: hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn,…tùy thuộc vào mẫu số của phân số thập phân mà tử số là các chữ số của phần thập phân.

Trong số thập phân, các hàng từ trái sang phải nhỏ dần. Mỗi đơn vị hàng trước bằng 10 lần đơn vị hàng sau. Chẳng hạng:

1 chục =10 đơnvị, 1 trăm = 10 chục, ,

Và ngược lại, mỗi đơn vị của một hàng bằng 0,1 lần đơn vị của hàng cao hơn liền trước.

Tuy nhiên do nhầm lẫn từ nghe đến viết, một số học sinh lại không phân biệt được giữa trăm với phần trăm, nhầm lẫn thứ tự lớn bé giữa phần mười, phần trăm, phần nghìn,…

Có những cách viết sau:

Cách viết đúng

Do vậy cần khắc sâu kiến thức về hàng và mối quan hệ giữa các hàng cho học sinh.

Khi nêu giá trị theo vị trí của các chữ số theo hàng , ta nên đọc lần lượt twftrais sang phải, từ lớn đến bé: tách theo phần nguyên và phần thập phân.

Phần nguyên gồm có : 2 trăm, 7 chục,1 đơn vị.

Phần thập phân gồm có: 0 phần mười, 9 phần trăm, 8 phần nghìn.

Khi đọc giá trị các chữ số, nếu trong một phần có nhiều số mà trong đó có chữ số 0, ta có thể vỏ qua không đọc giá trị chữ số 0 và ngầm hiểu. Tuy nhiên nếu ở phần nguyên chỉ có duy nhất chữ số 0 thì bắt buộc phải nêu rõ.

Phần nguyên gồm : 5 chục.

Phần thập phân gồm: 2 phần mười và 1 phần nghìn.

Ví dụ: 0,21 có:

Phần nguyên gồm : 0 đơn vị.

Phần thập phân gồm: 2 phần mười, 1 phần trăm.

Hoặc ta có thể đọc tất cả các hàng cùng một lần không cần tách ra hai phần.