Vinh university college of education mathematics department
The following problem is considered as the starting point of finite extrem set theory
tải về 120.21 Kb.
|
| The following problem is considered as the starting point of finite extrem set theory.
Problem 3. Given A is a subset of and E is a event which set A appears as the initial segment of a permutation of S. Prove that Where a is the number of elements of A. Proof.
-The number of arrangements remaining elements of S is -Thus, there are results of trial which E occurs. The number of elements of sample space is n!. -Therefore, we get -The proof is complete. (Vietnamese) Giải. -Số hoán vị của S là n!. Số hoán vị vủa A là a!. Bây giờ ta tìm số TH thuận lợi cho biến cố E. -Số hoán vị của phần tử còn lại của S là . -Do đó, số các TH thuận lợi cho biến cố E là -Vậy xác suất của E là -Điều phải chứng minh. Problem 4. Let is an (k, l)-system. Prove that Proof. Putting Take random permutation π of S. For each i, let be the event that all elements of precede all those of in this permutation. It is easy to check that all h of the events are pairwise disjoint. Indeed, assume this is false, and let π be a permutation in which all elements of precede those of and all the elements of precede those of . Without loss of generality, we may assume that the last element of does not appear after the last element of . But in this case, all elements of precede all those of , contradicting the fact that Therefore, all events are pairwise disjoint, as claimed. On the other hand, By sum of probabilities is , we complete the proof. (Vietnamese) Giải. Đặt Lấy hoán vị ngẫu nhiên π của S. Đói với mỗi i, đặt b là biến cố mà tất cả các phần tử của đều dứng trức phần tử của trong hoán vị. Điều đó dễ thấy tất cả h của là đôi một rời rạc. Thật vậy, Giả sử điều này là sai, và π là hoán vị trong tất cả các hần tử của đứng trước tất cả các phần tử của and tất cả các phần tử của đứng trước tất cả các phần tử của . Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả định phần tử cuối cùng của không xuất hiện sau phần tử cuối cùng của . Nhưng trong TH này, tất cả các phần tử của đứng trước tất cả các phần tử của , mâu thuãn với Do đó, tất cả các biến cố là đôi một rời rạc. Mặt khác, Do tổng xác suất bé thua hoặc bằng 1 suy ra điều cần chứng minh. tải về 120.21 Kb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|